Burnside引理与polya定理学习小记

置换

---

置换可以看成是一个集合到另一个集合的映射，比如：
1，2，3，4，5，6
2，1，5，3，4，6
就是一个[1,6]到[1,6]的映射。

1. 根据一些小常识，我们知道一个置换可以写成若干不相交的环
2. 根据一些小定义，我们记经过置换G后保持不变的元素为置换G的不动点
3. 又根据一些小套路，一个等价关系通常为一个置换的集合F。那么两个元素A和B等价当且仅当A能通过F中的某个置换变成B，满足等价关系的元素属于同一个等价类（即它们本质相同）

Burnside引理

---

记置换G的不动点数量为C(G)，那么所有等价类的数量等于C(G)的平均值
放一张用烂了的图片

比如上图，根据题目可以得到置换分别有旋转0°、90°、180°、270°，即F={0°,90°,180°,270°}
对应不动点分别为16、2、4、2，即C(0°)=16，C(90°)=2，C(180°)=4，C(270°)=2
那么等价类数量即为$$\frac{\sum _{G\in F}C(G)}{|F|}=\frac{16+2+4+2}{4}=6$$，这也正好是本质不同的方案数

Pólya定理

---

Pólya定理和Burnside引理好像没啥差别。。
我们知道置换都是由若干不相交的环组成的，记一个置换G有k(G)个环。显然一个不动点满足每个环内颜色都是一样的，并且环与环之间是独立的。
设有m种颜色可以涂，那么有$$\frac{\sum _{G\in F}C(G)}{|F|}=\frac{\sum _{G\in F}{m}^{k(G)}}{|F|}$$
我们可以人手代入一下发现这样是没毛病的

套路

---

一些序列上的循环同构问题往往要考虑gcd，然后变成带着系数$\phi$的没有等价限制的答案
没做啥题，见过的不多。。以后有时间再补吧(flag