51nod 3038 数列求和

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题意：
给定两个数$n$和$k$，求${\sum }_{i=1}^n{i}^{k}mod10007$的值

题解：
容易发现直接暴力枚举的时间复杂度是$O(nlogn)$，而$n$的数据范围比较大，因此暴力不行。
我们可以考虑到，这里的模数10007比较小，因此，我们可以从每个数模10007的余数下手。利用这个同余，我们发现$1^k,10008^k,20015^k,\dots \%10007$的值是相等的。可以发现，每隔10007个数就会出现一个同余的数，可以得到证明。因此，我们这里可以直接枚举余数，然后找出每个余数出现次数即可得到最后的答案。

实现细节见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll qpow(ll a, ll b) {
	ll ans = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) {
			ans = (ans * a) % 10007;
		}
		a = (a * a) % 10007;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
int main() 
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	int t;
	cin >> t;
	while (t--) {
		ll n, k;
		cin >> n >> k;
		ll ans = 0;
		for (ll i = 1; i <= min(n, (ll)10007); i++) { // 枚举可能的余数
			ans = (ans + qpow(i, k) * ((n - i) / (ll)10007 + 1)) % 10007; // 找到该余数对应的出现次数
		}
		cout << ans << endl;
	}
    return 0;
}