[Jzoj] 3504. 运算符

最新推荐文章于 2024-10-26 01:30:01 发布

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本文介绍了一个新的运算符!!!的定义及其性质，通过分解质因数的方法，探讨了如何计算n!k的不同约数个数，并提供了一段C++代码实现。该方法通过对质数的枚举和指数的累加，有效地解决了约数计数问题。

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题目描述

定义一个新的运算符 $!$ ，给了如下的定义：

$1 、 n! k = n! (k - 1) * (n - 1)! k (n > 0 a n d k > 0)$
$2 、 n! k = 1 (n = 0)$
$3 、 n! k = n (k = 0)$

现在告诉你 $n$ 和 $k$ 你能告诉他 $n! k$ 的不同约数个数有多少个吗？只要对 $1e^9+9$ 取模就可以了哦！

题目解析

设 $f_{i,j}$ 为 $i! j$ ，根据定义可以得出 $fi,j=fi−1,j×fi,j−1f_{i,j}=f_{i-1,j}\times f_{i,j-1}$ 。

因为求的是约数个数可以把 $f_{i,j}$ 分解质因数，为加一个第 $K$ 个质数的个数，因为是乘法，所以质数的个数相加即可。

处理边界条件： $f_{i,1}=$ 分解质因数 $(i!)$

最后枚举 $f_{n,k}$ 的每个位置的质数的指数， $ans=ans×(fn,k,i+1)ans=ans\times (f_{n,k,i}+1)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define M 1000000009
using namespace std;
ll n,k,cnt,ans=1;
int f[1005][105][205],prime[205];
bool vis[1005];
ll cal(ll n,ll p)
{
	if(n<p) return 0;
	return n/p+cal(n/p,p);
}
int main()
{
	for(int i=2;i<=1000;i++)
	 if(!vis[i])
	 {
	   prime[++cnt]=i;
	   for(int j=i+i;j<=1000;j+=i)
	    vis[j]=1;
	 }
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=1;j<=cnt;j++)
	  f[i][1][j]=cal(i,prime[j])%M;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	 for(int j=2;j<=k;j++)
	  for(int l=1;l<=cnt;l++)
	   f[i][j][l]=(ll)(f[i-1][j][l]+f[i][j-1][l])%M;
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	 (ans*=(ll)(f[n][k][i]+1)%M)%=M;
	cout<<ans;
	return 0;
}