luogu P3199 [HNOI2009]最小圈

analysis

首先要理解题目中的那个"圈"的含义

这个圈不是强连通分量!这就说明这个题和scc或tarjan没什么关系

因为他说的是:$c=(c_1,c_2,\cdots ,c_k)(c_i\in V)$是$G$中的一个圈当且仅当$(c_i,c_{i+1})(1\le i<k)$和$(c_k,c_1)$都在$E$中,也就是说,只要在E中…

等等,这个E是边集的意思啊,也就是说如果$c_i$和$c_j$要在一个圈里面,必须顺次连接,那不就是环嘛!!,一开始还分析错了

然后就是这个答案,要求的是${\mu }^{\prime }(c)=Min(\mu (c))$,也就是最小的$\frac{\sum _{i=1}^k{w}_{c_i,c_{i+1}}}{k}$

诶想到一个变形,上面这个式子可以变成这样子:$\frac{\sum _{i=1}^k{w}_{c_i,c_{i+1}}}{\sum _{i=1}^k{z}_i}(z_i=1)$

即:$\frac{\sum _{i=1}^k{x}_i\times w_{c_i,c_{i+1}}}{\sum _{i=1}^k{x}_i\times z_i}(z_i=1)$

这个式子好生熟悉,不就是01分数规划哇
设$$f(x_i)=\frac{\sum _{i=1}^k{x}_i\times w_{c_i,c_{i+1}}}{\sum _{i=1}^k{x}_i\times z_i}(z_i=1)$$
假设有一个组解满足$f(x_i)<L$

则$$\frac{\sum _{i=1}^k{x}_i\times w_{c_i,c_{i+1}}}{\sum _{i=1}^k{x}_i\times z_i}<L$$

$$\sum _{i=1}^k{x}_i\times w_{c_i,c_{i+1}}<\sum _{i=1}^{k}L\times x_i\times z_i$$

$$\sum _{i=1}^k(x_i\times w_{c_i,c_{i+1}}-L\times x_i\times z_i)<0$$

即如果存在一组解使得图中存在负环,那么当前的二分值就不是最小的

这下就是判负环了对吧

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define loop(i,start,end) for(register int i=start;i<=end;++i)
#define clean(arry,num) memset(arry,num,sizeof(arry))
#define anti_loop(i,start,end) for(register int i=start;i>=end;--i)
#define ll long long
template<typename T>void read(T &x){
	x=0;char r=getchar();T neg=1;
	while(r>'9'||r<'0'){if(r=='-')neg=-1;r=getchar();}
	while(r>='0'&&r<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+r-'0';r=getchar();}
	x*=neg;
}
const int maxn=3000+10;
const int maxm=10000+10;
int n,m,cnt=0;
struct node{
	int e;
	double w;
	int nxt;
}edge[maxm];
int head[maxn];
inline void addl(int u,int v,double w){
	edge[cnt].e=v;
	edge[cnt].w=w;
	edge[cnt].nxt=head[u];
	head[u]=cnt++;
}
bool flag=false;
bool insta[maxn];
bool vis[maxn];
double dis[maxn];
void spfa(int u,double L){
	insta[u]=true;
	for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt){
		int v=edge[i].e;
		if(dis[v]>dis[u]+edge[i].w-L){
			dis[v]=dis[u]+edge[i].w-L;
			if(insta[v]||flag){
				flag=true;
				return;
			}
			vis[v]=true;
			spfa(v,L);
		}
	}
	insta[u]=false;
}
void bin(){
	double L=-1e7,R=1e7,eps=1e-10;
	while(R-L>eps){
		double mid=(L+R)/2;
		//loop(i,1,n)dis[i]=1e9;
		clean(dis,0);
		clean(vis,false);
		clean(insta,false);
		loop(i,1,n){
			if(!vis[i]){
				vis[i]=1;
				flag=false;
				spfa(i,mid);
				if(flag){
					R=mid;
					break;
				}
			}
		}
		if(!flag)L=mid;
	}
	printf("%.8lf\n",L);
}
int main(){
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("datain.txt","r",stdin);
	#endif
	clean(head,-1);
	read(n);read(m);
	loop(i,1,m){
		int ai,bi;
		double wi;
		read(ai);
		read(bi);
		scanf("%lf",&wi);
		addl(ai,bi,wi);
	}
	bin();
	return 0;
}