中值定理()

对这篇博客的部分补充：
中值定理

---

以下定理成立的前提：$f(x)$连续

介值定理

$$m\le \mu \le M,\exists \xi \in [a,b],f(\xi )=\mu$$

平均值定理

∑ i = 1 n ( f ( x i ) ) n = f ( ξ ) , { x i ∈ [ a , b ] } \frac{\sum_{i=1}^{n}(f(x_i))}{n}=f(\xi),\{x_i\in[a,b]\} n∑i=1n​(f(xi​))​=f(ξ),{xi​∈[a,b]}

---

罗尔定理

罗尔定理的一个有趣拓展:

如果${\sum }_{i=1}^n(f(x_i))=0$,存在零点

罗尔原话:

如果$f^{(n)}(x)$至多有k个根，那么$f(x)$至多有（n+k）个根

---

积分中值定理

[a,b]上
$${\int }_a^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi )$$
(a,b)上
（使用的时候需要证明）
[证明]：

不妨设$$g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$
对$g(x)$在$(a,b)$上用拉格朗日中值定理,得：
$${\int }_a^{b}f(t)dt-{\int }_a^{a}f(t)dt=(b-a)f(\xi )[\xi \in (a,b)]$$

---

常用