AcWing 889. 满足条件的01序列 (组合计数 / 卡特兰数)

满足条件的01序列

给定n个0和n个1，它们将按照某种顺序排成长度为2n的序列，求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中0的个数都不少于1的个数的序列有多少个。

输出的答案对1e9+7取模。

输出格式
共一行，包含整数n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示答案。

数据范围
1≤n≤1e5

解题思路：

可以把01串问题转换成坐标系问题，0的话代表x轴 ， 1 代表y轴 ，我们一共有 n 个1 ，n个0 所以一定会走到 （n，n）这个点 所以全部的组合方式是：C（2n，n） 但是题目有额外的要求（任意前缀序列中0的个数都不少于1），也就是说任意时刻，x都要大于y ： 也就是 所有的点都在下图绿线之下， 任何只要碰到红线的走法都为非法 ，如果红绿在同一个x的情况下 （红线y = 绿线y +1） 也就是比绿线多走了一次 1，但是总和为 n+n 所以 必定 红线少走 一次 0 ，所以红线最后的终点为（n-1,n+1），ans即为 C( 2n , n ) - C( 2n , n-1)

卡特兰数： C( 2n , n ) - C( 2n , n-1) = C( 2n , n) / (n+1)

Code:

#include<iostream>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+7;
const int mod=1e9+7;
ll fac[maxn],infac[maxn];

ll qsm(ll a,ll b){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

void init(){
    fac[0]=infac[0]=1;
    for(ll i=1;i<maxn;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        infac[i]=infac[i-1]*qsm(i,mod-2)%mod;
    }
}

ll C(ll a,ll b){
    ll res=1;
    for(ll i=1,j=a;i<=b;i++,j--){
        res=res*j%mod;
        res=res*qsm(i,mod-2)%mod;
    }
    return res;
}

int main(){
    init();
    int n;
    scanf("%d",&n);
    // printf("%lld\n",fac[2*n]*infac[n]%mod*infac[n]%mod*qsm(n+1,mod-2)%mod);
    printf("%lld\n",C(2*n,n)*qsm(n+1,mod-2)%mod);
}