单源最短路（dijikstra算法）

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#单源最短路 #dijkstra #迪杰斯特拉 #图

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本文介绍了Dijkstra算法，一种用于求解单源最短路径问题的图算法，结合实例阐述了其工作原理，并提供了洛谷上的相关题目链接，帮助读者理解和实践。

单源最短路（dijikstra算法）

百度百科定义中：给定一个带权有向图G=（V,E），其中每条边的权是一个实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到其他所有各顶点的最短路径长度。这里的长度就是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。

dijikstra算法是一种图算法，其中有用到BFS的思想。他和最小生成树有相同之处，但实际解决的是不同的问题。

我们还是先看个图我们假定从V1 出发寻找到其他各个点的最小的代价,然后在算法程序实现的过程中我们会经常用到优先队列

从V1出发则到V1点的距离为0,表示为（V1,0) vis[V1]=1

把V1的邻接点放到队列中（V5,5) ,(V2,15) V5的权重最小所以在优先队列中排在最前面

然后弹出队列第一个元素(V5,5) 则V1到V5的距离为5,vis[v5]=1,继续把为V5的邻接点V4,V6放到队列里面(V4,7),(V6,11)

继续弹出V4，vis[V4]=1,把(V2,11) (V6,8)放入优先队列

接着弹出(v6,8),vis[V6]=1,放入(v3,11)

接着弹出(V3,11),vis[V2]=1,放入(v2,21)

最后弹出(V2,11) vis[V2]=1,到这里从V1出发到所有点的最小代价都算出来了。后面的点由于比原来的距离大所以不用更新。

最后我们来做个模板题看看实际的代码实现。

https://www.luogu.org/problem/P4779

题目背景

2018 年 7 月 19 日，某位同学在 NOI Day 1 T1 归程一题里非常熟练地使用了一个广为人知的算法求最短路。

然后呢？

100 \rightarrow 60100→60；

Ag \rightarrow CuA**g→C**u；

最终，他因此没能与理想的大学达成契约。

小 F 衷心祝愿大家不再重蹈覆辙。

题目描述

给定一个 NN 个点，MM 条有向边的带非负权图，请你计算从 SS 出发，到每个点的距离。

数据保证你能从 SS 出发到任意点。

输入格式

第一行为三个正整数 N, M, SN,M,S。第二行起 MM 行，每行三个非负整数 u_i, v_i, w_iu**i,v**i,w**i，表示从 u_iu**i 到 v_iv**i 有一条权值为 w_iw**i 的边。

输出格式

输出一行 NN 个空格分隔的非负整数，表示 SS 到每个点的距离。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

0 2 4 3

给一个大佬的标程

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x7fffffff
const int maxn=500010;
struct edge{
	int w,to,next;
};
edge e[maxn];
int vis[maxn],dis[maxn],head[maxn];
int n,m,s,cnt;
void add_edge(int u,int v,int d)  //链式前向星存图 
{
	cnt++;
	e[cnt].w=d;
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
}
struct node{
	int dis;
	int pos;
	bool operator<(const node &x)const   //在优先队列从小到大排序 
	{
		return x.dis<dis;
	}
};
priority_queue<node> q;  //创建一个优先队列 
void dijkstra()
{
	node a;
	a.dis=0;
	a.pos=s;
	dis[s]=0;
	q.push(a);
	while(!q.empty())  	  //把符号的放入队列 直到队列为空 
	{
		a=q.top();
		q.pop();
		int x=a.pos,d=a.dis;
		if(vis[x]) continue;
		vis[x]=1;
		for(int i=head[x];i;i=e[i].next)  //遍历该点的邻接点 
		{
			int y=e[i].to;
			if(dis[y]>dis[x]+e[i].w)
			{
				dis[y]=dis[x]+e[i].w;
				if(!vis[y])
				{
					q.push((node) {dis[y],y});

				}
			}
		}
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=0;i<=n;i++) dis[i]=INF; //把每个距离初始化为无穷大
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		add_edge(a,b,c);
	}
	dijkstra();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	cout<<dis[i]<<' ';
	return 0;
}