三角形最小路径和（自上而下动态规划+空间优化）

题目

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。

例如，给定三角形：
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：
如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

注意点

1、自上而下动态规划简单实现

• 获取动态规划表达式：dp[i][j] 表示自上而下达到结点（i，j）的最小路径和；
• 定义动态规划方程：
  1、当i > 0，j = 0时，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + triangle.get(i).get(0)；
  2、当i > 0，0 < j < i - 1时，dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + triangle.get(i).get(j);
  3、当i > 0，j = i - 1时，dp[i][i] = dp[i - 1][i - 1] + triangle.get(i).get(i)。

2、自上而下动态规划+空间优化实现

• 由1我们可以知道，dp[i][j]只与上一层的左上角（dp[i - 1][j - 1]）和上方（dp[i - 1][j]）的元素有关，所以行 i 不一定需要记录，我们可以通过定义为dp[j]，然后采用重复利用的方式来达到空间优化；
• 因为是自上而下遍历，所以每一层需要逆方向进行操作，不然会覆盖掉上一层的值。（例如：更新dp[0]后，然后更新dp[1]时，会发现需要判断的dp[0]已经修改过，则无法正确操作）

实现

1、自上而下动态规划简单实现

    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
   
    	// 最小路径和
        int minisum = 0;
        if (null == triangle) {
   
            return minisum;
        }

		// 三角形总行数
        int n = triangle.size();
        // 动态规划方程
        int[][] dp = new int[n][n];
        // 初始化动态规划方程
        dp[0]