<think>我们讨论的是
完全背包问题，其特点是每种物品有无限多个。与
01背包问题（每种物品只能选一次）不同，在
完全背包问题中，我们可以在不超过背包容量的前提下，无限次选取每种物品。
动态规划解法：
状态定义：dp[j] 表示容量为 j 的背包能够装下的最大价值。
状态转移：对于每种物品 i，体积为 v_i，价值为 w_i，我们考虑在背包容量允许的情况下，可以多次选取该物品。因此，在更新 dp[j] 时，我们使用正序遍历（与
01背包的逆序相反），这样可以在更新当前状态时
利用当前物品已经更新过的状态（即允许重复选取）。
状态转移方程：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - v_i] + w_i) 当 j >= v_i
模板代码（空间优化版）：
for i in range(n): # 遍历物品
for j in range(v_i, V+1): # 从小到大遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - v_i] + w_i)
注意：这里内层循环是正序的，这样在更新dp[j]时，dp[j - v_i]可能已经更新过（即可能已经包含当前物品），因此可以实现重复选取。
下面我们给出一个完整的C++
模板代码示例：</think>#
完全背包问题动态规划实现
模板
完全背包问题是一种经典的动态规划问题，其特点是**每种物品可以无限次使用**。与
01背包问题（每种物品仅能使用一次）不同，
完全背包问题需要调整状态转移策略来适应物品的无限次使用特性。
## 核心算法思想
1. **问题定义**：
- 给定背包容量 $V$ 和 $n$ 种物品
- 每种物品 $i$ 有体积 $v_i$ 和价值 $w_i$
- 目标：在不超过背包容量的前提下，最大化物品总价值
2. **状态定义**：
- $dp[j]$：容量为 $j$ 的背包所能达到的最大价值
3. **状态转移方程**：
$$
dp[j] = \max(dp[j], dp[j - v_i] + w_i) \quad \text{for } j = v_i \text{ to } V
$$
4. **关键区别**：
-
01背包：内层循环**逆序**遍历（防止重复选取）
-
完全背包：内层循环**顺序**遍历（允许重复选取）
## 空间优化实现
模板（一维数组）
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int completeKnapsack(int V, vector<int>& v, vector<int>& w) {
vector<int> dp(V + 1, 0); // 初始化dp数组
// 遍历所有物品
for (int i = 0; i < v.size(); i++) {
// 顺序遍历背包容量（关键区别）
for (int j = v[i]; j <= V; j++) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
}
}
return dp[V];
}
int main() {
// 示例数据
int V = 10; // 背包容量
vector<int> v = {2, 3, 4, 5}; // 物品体积
vector<int> w = {3, 4, 5, 6}; // 物品价值
int maxValue = completeKnapsack(V, v, w);
cout << "最大价值: " << maxValue << endl;
return 0;
}
```
## 二维数组实现
模板（更易理解）
```cpp
int completeKnapsack2D(int V, vector<int>& v, vector<int>& w) {
int n = v.size();
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(V + 1, 0));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= V; j++) {
// 不选当前物品
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
// 选当前物品（可重复选）
if (j >= v[i - 1]) {
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - v[i - 1]] + w[i - 1]);
}
}
}
return dp[n][V];
}
```
## 算法分析
1. **时间复杂度**：
- $O(n \times V)$，其中 $n$ 是物品种类数，$V$ 是背包容量
2. **空间复杂度**：
- 一维数组：$O(V)$
- 二维数组：$O(n \times V)$
3. **正确性证明**：
- 顺序遍历确保每个物品可被多次选择
- 状态转移方程保证最优子结构性质
## 相关问题
1. **基础应用**：
- 如何修改
代码记录选择的物品组合？
（添加选择路径追踪数组）
- 当背包必须装满时，如何调整初始化？
（$dp[0]=0$，其余初始化为负无穷）
2. **变种问题**：
-
完全背包的最小物品数问题：求填满背包所需最少物品数量
（将 $\max$ 改为 $\min$，$w_i$ 设为1）
- 组合问题：求填满背包的方案数
（将 $\max$ 改为加法，初始 $dp[0]=1$）
3. **性能优化**：
- 当 $V$ 很大时如何优化？
（使用
滚动数组或数学优化）
- 如何
利用物品体积的整除关系优化？
（预处理体积关系，减少状态数）
4. **实际应用场景**：
- 硬币找零问题：给定面额组合求找零方案
（
完全背包的典型应用）
- 资源分配问题：在预算限制下最大化收益
5. **算法对比**：
-
完全背包与
01背包的核心区别是什么？
（物品选取次数限制导致遍历顺序不同）
- 多重
背包问题如何转化为
完全背包？
（当物品数量 $c_i \times v_i > V$ 时）[^1] [^3]
博客介绍了两种背包问题。01背包问题中，有n件物品，每件有对应重量和价值，背包容量为V，每种物品只有1件，需选取物品使背包总价值最大；完全背包问题类似，但每种物品有无穷件。
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