完全背包问题模板（dp)

前言：

完全背包问题是背包问题的改版，背包问题模板：背包问题（dp动态规划）-优快云博客

完全背包问题是一种选品但不限次的问题；多了个循环，k代表选品i选了多少个。

一、题目

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

二、代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e3+10;
int v[N], w[N];
int dp[N][N];

void solve() {
	int n, m;// 选品数以及最大容量
	cin >> n >> m;
	for(int i =1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		for(int j = 0; j <= m; j ++) {
			for(int k = 0; k*v[i]<=j; k ++) {
				dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i]);
			}
		}
	} 
	cout << dp[n][m] << endl;
}

int main() {
	solve();
	return 0;
}
/*
输入数据：
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出数据： 
10 
*/

三、代码优化：

前言

首先优化掉k循环，与k无关。

dp[i][j-v[i]] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-v[i]] + w[i]) 选品i时，选k和不选k时，哪一个打包值更大。

然后优化掉i，不影响.因为可以重复选品i，所以不会有歧义，可以正向遍历更新。之前有歧义是因为担心选到自己之后，自身加自身的歧义，而这里不会。

d[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;
int v[N], w[N];
int dp[N];

void solve() {
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		for(int j = v[i]; j <= m; j ++) {
			dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]]+ w[i]);
		}
	}
	cout << dp[m] << endl;
}

int main() {
	solve();
	return 0;
}
/*
输入数据：
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出数据： 
10 
*/