多重背包

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

解题思路:
这其实是一个多重背包的问题,每一次的cash对应于背包的容量,钱的种类即为物品的种类,注意这里钱的面值对应于物品的价值和体积,然后用二进制拆分将多重背包化为0-1背包问题来解决,这里转化后的vv和ww数组也只是同一个数组newarr。注意,最多只有10种钞票,数组a和c的大小设置为15即可,cash最大值为100000,f大小设置为100005,newarr大小应该与新的物品总个数cnt相匹配(相当于每个物品都做一次0-1背包计算)。每一种物品最多有1000个,二进制拆分以后的个数一定小于1000,最多有10种物品,故二进制拆分以后的物品总个数一定小于10000,所以newarr大小设置为10005即可。
参考代码:

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int v,n;
int a[15];//value(weight)
int c[15];
int f[100005];
int newarr[10005];
int main(int argc, const char * argv[]) {
    while (cin>>v>>n) {
        for (int i=1; i<=n; i++) {
            cin>>c[i]>>a[i];
        }
        int cnt=0;
        for (int i=1; i<=n; i++) {
            int t=c[i];
            for (int k=1; k<=t; k<<=1) {
                cnt++;
                newarr[cnt]=k*a[i];
                t-=k;
            }
            if (t>0) {
                cnt++;
                newarr[cnt]=t*a[i];
            }
        }
         memset(f, 0, sizeof(f));
            for (int i=1; i<=cnt; i++)
                for(int j=v;j>=0;j--)
            {
                if(newarr[i]<=j)f[j]=max(f[j], f[j-newarr[i]]+newarr[i]);
            }
        cout<<f[v]<<endl;
    }
    return 0;
}

### 多重背包问题的解决方案 多重背包问题是经典的背包问题之一,其核心思想是将每种物品的数量限制考虑进去,在不超过背包容量的前提下最大化价值总。以下是关于多重背包问题的具体实现方法。 #### 动态规划的核心概念 动态规划是一种常用的优化技术,用于解决具有最优子结构的问题。对于多重背包问题,可以通过将其转化为更简单的形式来简化计算过程。具体来说,可以采用二进制拆分或者单调队列优化的方式来减少时间复杂度[^2]。 #### 转化为0/1背包问题 一种常见的做法是将多重背包问题分解成多个独立的0/1背包问题实例。例如,如果某种物品最多可以选择k次,则可以将这种物品分成若干组,使得每一组对应于不同的取值次数(如1, 2, 4...直到接近k)。这样做的好处是可以显著降低状态空间大小,从而提升运行效率。 #### 状态转移方程 设`dp[i][j]`表示前i物品放入容量为j的背包所能获得的最大价值,则状态转移方程如下: 当不选第i物品时: `dp[i][j] = dp[i-1][j]` 当选取一定数量的第i物品时(假设当前可选取数目为t): `dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-t*weight[i]] + t*value[i])` 其中`t`满足条 `t * weight[i] <= j && t <= count[i]` ,这里`count[i]`代表第i类物品的实际可用数量。 #### Java代码示例 下面是一个基于上述原理的Java程序实现: ```java public class MultipleKnapsack { public static int knapsack(int[] weights, int[] values, int[] counts, int capacity) { int n = weights.length; int[][] dp = new int[n + 1][capacity + 1]; for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int w = 0; w <= capacity; ++w) { dp[i][w] = dp[i - 1][w]; for (int k = 1; k <= counts[i - 1]; ++k) { // 遍历可能的选择数 if (weights[i - 1] * k > w) break; dp[i][w] = Math.max(dp[i][w], dp[i - 1][w - k * weights[i - 1]] + k * values[i - 1]); } } } return dp[n][capacity]; } public static void main(String[] args) { int[] weights = {2, 3, 4}; int[] values = {3, 4, 5}; int[] counts = {2, 3, 1}; // 各自对应的数量 int capacity = 7; System.out.println(knapsack(weights, values, counts, capacity)); // 输出最大价值 } } ``` 此代码片段展示了如何通过嵌套循环遍历所有可能性并更新DP表项以找到最佳解法[^1]。
评论 1
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值