图（一）| BFS与DFS算法 - Python实现

一. 基础概念：

图的数学表述为 $G=(V,E)$，即图是由一组顶点和一组边构成，例如：

相关概念如下：

• 相邻节点；
• 度：相邻节点的个数；
• 路径：从某个节点到另一个节点的连续序列；
• 简单路径：无重复节点的路径；
• 无环的；
• 连通的：每两个节点之间都存在路径；
• 无向的；
• 有向的；
• 加权的；
• 未加权的；
• 强连通的：对于有向图，每两个顶点之间都存在双向的路径；

例如上面的例子中展现的就是一张无环的、无向的、未加权的、连通的图，这样的图里任意两个节点间都存在简单路径。

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* 图的三种表示方法：

1. 邻接矩阵：

$array[i][j]=\{\begin{array}{ll}1,& i与j为相邻顶点；\\ 0,& i与j不相邻；\end{array}$

容易得到对于邻接矩阵$M$，$M^T=M$。

2. 关联矩阵：

$array[v][e]=\{\begin{array}{ll}1,& v是e的入射点；\\ 0,& v不是e的入射点；\end{array}$

对于有向图可稍作修改，例如

3. 邻接表：

邻接表最简单的描述方式是使用字典，以某顶点为键，以该顶点的相邻顶点为值即可。例如最开始的例子中的图可以表示为一个Python字典：

{
   
	A:[B,C,D],
	B:[A,E,F],
	C:[A,G],
	D:[A,H,I,J],	
	E:[B,K,L],
	F:[B],
	G:[C],
	H:[D,M],
	I:[D],
	J:[D],
	K:[E],
	L:[E],	
	M:[H]
}

后面我们将采用这种方式实现图，进而使用BFS与DFS算法遍历图中的节点。

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二. 广度优先搜索BFS：

广度优先搜索是一种对图进行遍历的算法，其遍历思想是“先宽后深”，优先访问同一层的节点；而深度优先搜索的遍历思想则是“先深后宽”，从指定顶点开始，沿着某条路径直到这条路径的最后一个节点，再原路退回，探索下一条路径。

对于这两种算法，我们其实只需要将队列应用到BFS中、将栈应用到DFS中，即可非常相似的实现两种算法。这一点我们后续可以更清楚的看到。那么首先让我们实现简单的栈和队列：

1. 实现栈和队列：

栈和队列的构建都很简单，我们使用Python提供的列表存储数据，然后遵守相应的“先进后出”、“先进先出”原则定义入栈/出栈、入队/出队的方法即可。最后，我们需要一个方法动态获取栈/队列的长度，将size定义为方法而不是属性可以简化代码、避免手动更新size属性。

代码如下：

class MyQueue(object):
	'''
	构建队列
	'''

	def __init__(self):
		self.myQueue = []

	def push(self,item):

		self.myQueue.append(item)
		return self.myQueue

	def pop(self):

		return self.myQueue.pop(0)

	def size(self):
		'''
		将队列的大小动态定义为方法，其它方法中无需对其进行显示更新
		'''
		return len(self.myQueue)

class MyStack(object):
	'''
	构建栈
	'''

	def __init__(self):
		self.myStack = []

	def push(self,item):

		self.myStack.append(item)
		return self.myStack

	def pop(self):

		return self.myStack.pop(len(self.myStack) - 1)