特征值与特征向量，原理与Matlab实现

求解原理

  定义： 设$A$是 $n\times n$ 方阵，如果有数$\lambda$和$n$维非零列向量$X$，满足下式，则称$\lambda$为$A$的一个特征值，非零向量$X$为与$\lambda$对应的特征向量。
$$AX=\lambda X$$
  Step1：特征值求解
  上式可写作$\left(\lambda E-A\right)X=0$，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，从而得到下式，这是一个关于$\lambda$的$n$次多项式，也称为特征方程或特征多项式，从而解得$n$个特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$。
$$\left|\lambda E-A\right|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -a_{11}& -a_{12}& \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}& \cdots & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots & \lambda -a_{nn}\end{array}\right|=0$$
  Step2：特征向量求解
  对于每一个特征值 ${\lambda }_i$，通过求解方程组 $\left({\lambda }_{i}E-A\right)X_i=0$，得到特征向量$X_i$。这可以转化为齐次线性方程组求解问题，具体步骤如下：

1. 将 ${\lambda }_{i}E-A$ 表示为增广矩阵形式。
2. 对增广矩阵进行高斯消元，得到方程组的简化形式。</