水手分椰子

5个水手分椰子

问题描述

5个水手来到一个岛上，采了一堆椰子后，因为疲劳都睡着了。一段时间后，第一个水手醒来，悄悄地将椰子等分成5份，多出一个椰子，便给了旁边的猴子，然后自己藏起一份，再将剩下的椰子重新合在一起，继续睡觉。不久，第二名水手醒来，同样将椰子等分成5份，恰好也多出一个，也给了猴子。然后自己也藏了一份，再将剩下的椰子重新合在一起。以后每个水手都如此分了一次并藏了一份，也恰好都把多出的一个给了猴子。第二天，5个水手醒来，发现椰子少了许多，心照不宣，便把剩下的椰子分成了5份，恰好又多出一个，给了猴子。
问原来这堆椰子至少有多少个？

递推设计

设置 $y$ 数组， 第 $i$ 个水手藏椰子数为 $y(i)(i=1,2,...,5)$ ,第二天5个水手醒来后各分得椰子为 $y(6)$ 个， 依照题意, 设椰子总数为 $x$ ，则 $x=5y(1)+1$
相邻两人所藏椰子数 $y(i)$ 与 $y(i+1)$ 之间的关系为
$$\begin{gathered} 4y(i)=5y(i+1)+1 \\ y(i+1)=(4y(i)-1)/5 \end{gathered}$$

边界条件： $y(i)均为整数$

程序源代码

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main(){
	
	int i;
	double k,x,y[7];
	i = 1;
	k = 1.0;
	y[1] = k;
	while(i <= 5){
		i++;
		y[i] = (4*y[i-1]-1)/5;
		if(y[i] != floor(y[i])){
			k = k + 1.0;
			y[1] = k;
			i = 1;
		}
	}
	x = 5*y[1] + 1;
	printf("5个水手分椰子，原有椰子至少有：%.0f个\n",x);
	return 0;
} 

算法改进

前面使用从前往后递推，从大推小，次数较多。从后往前推，从小推大，可以精简递推的次数。
递推式：
$$y(i)=(5y(i+1)+1)/4$$

k取值的改进：为了确保从后往前推出的数是一个整数，初始值应该为 3，每次 k=k+4 来保证所推出的数都是整数

改进后程序源代码

#include<stdio.h>
#include<math.h>

int main(){
	int i;
	double k,x,y[7];
	i = 6;
	k = 3.0;
	y[6] = k;
	while(i > 1){
		i--;
		y[i] = (y[i+1]*5 + 1) / 4;
		if(y[i] != floor(y[i])){
			k = k + 4.0;
			y[6] = k;
			i = 6;	
		}
	}
	x = 5*y[1] + 1;
	printf("原有椰子数至少为：%0.0f\n",x);
	return 0;
}

n个水手分椰子

问题描述

$n$ 个水手来到一个岛上，采了一堆椰子后，因为疲劳都睡着了。一段时间后，第一个水手醒来，悄悄地将椰子等分成 $n$ 份，多出 $m$ 个椰子，便给了旁边的猴子，然后自己藏起一份，再将剩下的椰子重新合在一起，继续睡觉。不久，第二名水手醒来，同样将椰子等分成 $n$ 份，恰好也多出 $m$ 个，也给了猴子。然后自己也藏了一份，再将剩下的椰子重新合在一起。以后每个水手都如此分了一次并藏了一份，也恰好都把多出的 $m$ 个给了猴子。第二天，$n$ 个水手醒来，发现椰子少了许多，心照不宣，便把剩下的椰子分成了 $n$ 份，恰好又多出 $m$ 个，给了猴子。
问原来这堆椰子至少有多少个？$0<m<n<9$

递推

递推关系式：
$$y(i)=(ny(i+1)+m)/(n-1)$$

k值取值：初始值为 $k=n-m-1$ , 每次 $k=k+n-1$ 递增

程序源代码

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main(){
	
	int i,m,n;
	double k,x,y[10];
	
	printf("请输入人数 n：");
	scanf("%d",&n);
	printf("请输入每次剩下的椰子数 m：");
	scanf("%d",&m);
	
	i = n + 1;
	k = n - m - 1;
	y[n+1] = k;
	while(i > 1){
		i--;
		y[i] = (y[i+1]*n + m)/(n-1);
		if(y[i] != floor(y[i])){
			k = k + n - 1;
			y[n+1] = k;
			i = n + 1;
		}
	}
	x = n*y[1] + m;
	printf("原有椰子至少为：%.0f\n",x);
	for(i=1;i<=n;i++){
		printf("第 %d 个水手面临的椰子：%0.0f = %d * %0.0f + %d",i,n*y[i]+m,n,y[i],m);
		printf("\t藏 %.0f\n",y[i]);
	}
	
	printf("最后一起分时的椰子数：");
	printf("%0.0f = %d * %0.0f + %d \n",n*y[n+1]+m,n,y[n+1],m);
	printf("每人分 %0.0f 个\n",y[n+1]);
	return 0;
}