最近公共祖先（LCA）

最新推荐文章于 2023-07-22 12:51:12 发布

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分类专栏： # 其它算法 # 倍增 & LCA 文章标签：倍增 LCA

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本文深入讲解了最近公共祖先（LCA）算法的实现原理及应用，通过一道经典的模板题，详细介绍了如何使用倍增法快速求解两个节点的最近公共祖先，包括数据结构设计、DFS遍历、祖先信息预处理及LCA查询算法。

$最近公共祖先（ L C A ）$

题目链接：luogu P3379

题目

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入

第一行包含三个正整数 $N$ 、 $M$ 、 $S$ ，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。
接下来 $N - 1$ 行每行包含两个正整数 $x$ 、 $y$ ，表示 $x$ 结点和 $y$ 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。
接下来 $M$ 行每行包含两个正整数 $a$ 、 $b$ ，表示询问 $a$ 结点和 $b$ 结点的最近公共祖先。

输出

输出包含 $M$ 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

样例输入

样例输出

样例解释

该树结构如下：
在这里插入图片描述
第一次询问： $2$ 、 $4$ 的最近公共祖先，故为 $4$ 。
第二次询问： $3$ 、 $2$ 的最近公共祖先，故为 $4$ 。
第三次询问： $3$ 、 $5$ 的最近公共祖先，故为 $1$ 。
第四次询问： $1$ 、 $2$ 的最近公共祖先，故为 $4$ 。
第五次询问： $4$ 、 $5$ 的最近公共祖先，故为 $4$ 。

故输出依次为 $4$ 、 $4$ 、 $1$ 、 $4$ 、 $4$ 。

数据范围

对于 $30\%$ 的数据： $N < = 10 ， M < = 10$
对于 $70\%$ 的数据： $N < = 10000 ， M < = 10000$
对于 $100\%$ 的数据： $N < = 500000 ， M < = 500000$

思路

这道题是一道模板题。
为了不超时，我们得用倍增的方法来做。
每次跳 $2^i$ 级，而且要从大往小跳，不然会出错。
那么，我们记录某个点的第 $2^i$ 级祖先，然后就可以开始跳了。
我们先把两个点升到同一高度，在开始跳，跳到 $L C A$ 的下一层，然后输出其父节点就可以了。

代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct note
{
	int to,next;
}e[1000001];
int n,m,s,x,y,le[1000001],k,dep[1000001],fa[31][1000001],l[1000001];
void dfs(int father,int son)//dfs求出某个点的第2^i级祖先
{
	dep[son]=dep[father]+1;
	fa[0][son]=father;
	for (int i=1;(1<<i)<=dep[son];i++)
	 fa[i][son]=fa[i-1][fa[i-1][son]];
	for (int i=le[son];i;i=e[i].next)
	 if (father!=e[i].to)
	  dfs(son,e[i].to);
}
int LCA(int x,int y)//LCA
{
	if (dep[x]<dep[y])
	 swap(x,y);//让x的深度大于等于y的深度
	while (dep[x]>dep[y])
	 x=fa[l[dep[x]-dep[y]]-1][x];//x和y先跳到同一个深度
	if (x==y) return x;//公共祖先已经找到
	for (int i=l[dep[x]]-1;i>=0;i--)//向上跳 
	if (fa[i][x]!=fa[i][y])//不相等（还要跳）
	{
		x=fa[i][x];//跳
		y=fa[i][y];
	}
	return fa[0][x];//返回其父节点（公共祖先）
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);//读入
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);//读入
		e[++k]=(note){y,le[x]};le[x]=k;//建邻接表
		e[++k]=(note){x,le[y]};le[y]=k;
	}
	dfs(0,s);//dfs
	for (int i=1;i<=n;i++)
	l[i]=l[i-1]+(1<<l[i-1]==i);//先预处理出log_2[i]+1
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);//输入
		printf("%d\n",LCA(x,y));//输出
	}
	return 0;
}