最长不降子序列

声明：以下代码均为手写，只测试过校OJ，若网友发现问题，可在下方留言，谢谢大家！ 

题目内容：
所谓子序列，就是在原序列里删掉若干个元素后剩下的序列，以字符串"abcdefg"为例子，去掉bde得到子序列"acfg"现在的问题是，给你一个数字序列，你要求出它最长的单调不降子序列。

输入描述
多组测试数据，每组测试数据第一行是n(1<=n<=10000)，表示n个数据，下一行是n个比10^9小的正整数

输出描述
对于每组测试数据输出一行，每行内容是最长的单调不降子序列的长度

输入样例
5
1 2 4 8 16
5
1 10 4 9 7
9
0 0 0 1 1 1 5 5 5

输出样例
5
3
9

朴素解法（暴力美学）

        时间复杂度：O(N^3)

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1e7+9;
int n,a[maxn],dp[maxn];

//dp[i]：以ai为最大值的不降子序列的长度
/*应当注意：这里有两个状态
第一：当以ai为最大值的子序列只有ai时，dp[i]=1
第二：dp[i]=dp[j]+1，aj<ai && j<i*/

void solve(){
	int res=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		dp[i]=1;
		for(int j=0;j<i;j++){
			if(a[j]<=a[i]){
				dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
			}
		}
		res=max(res,dp[i]);
	}
	cout<<res<<endl;
}
int main(){
	while(cin>>n){
		fill(dp,dp+n,0);//将dp初始化为0，memset()有时并没有fill()好用
		for(int i=0;i<n;i++){
			cin>>a[i];
		}
		solve();
	}
	return 0;
} 

//max()和fill()都包含于algorithm头文件中

另一种思路：dp[i]存长度为i的不降子序列的最大值的最小值（手写，非模板）

原理：第二种思路的原理

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1e7+9;
int n,a[maxn],dp[maxn];

void solve(){
	dp[0]=0;
	int j=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dp[j-1]>a[i]){
			for(int k=0;k<j;k++){
				if(dp[k]<a[i] && a[i]<dp[k+1]){
					dp[k+1]=a[i];
					break;
				}
			}
		}
		else{
			dp[j]=a[i];
			j++;
		}
	}
	cout<<(j-1)<<endl;
}
int main(){
	while(cin>>n){
		fill(dp,dp+n,maxn);
		for(int i=1;i<=n;i++){
		    cin>>a[i];
		}
		solve();
	}
	return 0;
} 

优化：将第二种思路的时间复杂度降为O(N^2*logN)

           在dp[]中检索值时，即solve()中的第二重循环，由于dp[]保持单调递增，所以可以用lower_bound()来降低时间复杂度，当然这里还可以手写二分进行优化。

           使用lower_bound()

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1e7+9;
int n,a[maxn],dp[maxn];

void solve(){
	dp[0]=0;
	int j=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dp[j-1]>a[i]){
			*lower_bound(dp+1,dp+j,a[i])=a[i];
		}
		else{
			dp[j]=a[i];
			j++;
		}
	}
	cout<<(j-1)<<endl;
}
int main(){
	while(cin>>n){
		fill(dp,dp+n,maxn);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>a[i];
		}
		solve();
	}
	return 0;
} 

         手写二分

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1e7+9;
int n,a[maxn],dp[maxn];

void binary(int start,int end,int key){
	while(end-start>1){
		int mid=(start+end)>>1;
		if(dp[mid]>=key){
			end=mid;
		}
		else{
			start=mid;
		}
	}
	dp[end]=key;
}

void solve(){
	dp[0]=0;
	int j=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dp[j-1]>a[i]){
			binary(-1,j,a[i]);
		}
		else{
			dp[j]=a[i];
			j++;
		}
	}
	cout<<(j-1)<<endl;
}
int main(){
	while(cin>>n){
		fill(dp,dp+n,maxn);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>a[i];
		}
		solve();
	}
	return 0;
}