最长不下降子序列1

最新推荐文章于 2023-04-02 14:36:10 发布
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分类专栏： 专题学习讲解
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/lsb20060209/article/details/79176535
本文介绍了最长不下降子序列的概念及其求解方法，并通过具体实例进行解释。此外还提供了练习题供读者实践，帮助深入理解这一算法。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

前言
“洗澡中，请勿打扰，偷窥请购票，个体四十，团体八折！”好了，先不洗澡了，嘟嘟老师今天来讲一下——诶等一下，嘟嘟老师还没穿内裤呢，等一分钟……
啊，终于换好了，开始讲吧。
欢迎来到嘟嘟课堂。今天，嘟嘟老师给大家讲一个比较水的专题，也是被众多信息学爱好者所研究、追求的一个东东——最长不下降子序列！！！大家应该知道我们学校（纪中）的Farmer John（也就是在USACO题库中常常出现的农夫约翰）陈启峰。他老人家（嗯，28岁）出名的研究专利给大家列举其中的冰山一角：

网络流改成启峰流
SBT优化
Scapegoat树
优化最长不下降子序列（陈启峰把最长不降子序列O（n^2）的算法优化成了O（n log n）的算法）
……

So，大家应该知道今天要讲什么了吧（不是讲怎么穿内裤啊）。没错，就是大名鼎鼎的最长不下降子序列！！！
（注：代码和思路在嘟嘟老师“最长不下降子序列2”中，本篇博客仅作铺垫及引入）
题目描述（http://172.16.0.132/junior/#main/show/1121）
有长度为N的序列:
A1 A2 …..An
求最长不下降子序列：Ai1,Ai2,,,,,Aik, 其中ai1<=ai2<=…..<=aik
求最长不下降子序列的长度
样例输入
11
1 3 6 3 4 7 5 7 6 7 8
样例输出
8
讲解
何为“最长不降子序列”？
设有由n个不相同的整数组成的数列，记为:a(1)、a(2)、……、a(n)且a(i)<>a(j) (i<>j)
例如3，18，7，14，10，12，23，41，16，24。
上例中3，18，23，24就是一个长度为4的不下降序列，同时也有3，7，10，12，16，24长度为6的不下降序列。
也就是说，在a数组中按顺序找k个数，使这个第k个数大于等于第k-1个数且k的值最大，就成为长度为k的最长不下降子序列。
大家自己先去试一下吧。
如果做完了这道例题，嘟嘟老师这里还有几道题，最长不下降子序列是很重要的内容，大家多加理解练习。
练习1
http://172.16.0.132/junior/#main/show/1857
题目描述
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统 V1.0。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够达到任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度，这样会大大降低导弹的拦截率。
经过技术人员的苦心改良，导弹拦截系统升级为 V2.0，使得这个拦截系统在拦截过程中，有若干次机会提升到任意高度，虽然次数有限，但是已经算很大的改进了。
某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭，导弹 V2.0拦截系统接受考验的时刻开始来临了。
输入
第一行为整数N (0<=N<=20)，M（1<=M<=50），N代表导弹拦截系统在拦截过程中，可以提升到任意高度的次数；M代表需要拦截的导弹的数目。N、M两个整数用空格隔开。
第二行为M个正整数，每个整数间使用若干空格隔开，分别表示导弹依次飞来的高度，雷达给出高度数据是不大于1000的正整数。
输出
输出一个正整数，代表该导弹拦截系统最多可以拦截的导弹数目。
样例输入
1 7
300 250 275 252 200 138 245
样例输出
6
数据范围限制
N (0<=N<=20)，M（1<=M<=50）
练习2
http://172.16.0.132/junior/#main/show/1123
题目描述
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
样例输入
389 207 155 300 299 170 158 65
样例输出
6（最多能拦截的导弹数）
2（要拦截所有导弹最少要配备的系统数）
嘟嘟老师也自己出了一道题：
猥琐的慢羊羊（本题及本帖为嘟嘟老师原创，不可转载，违者必究）
题目描述
羊村刚考完试……
由于最近喜羊羊等羊都在调戏美羊羊和红太狼（还有李子羊），无心于学业，考的都非常差。
但慢羊羊校长要看他们的成绩单，且必须从羊1看到羊n，按照顺序来。为了使慢羊羊校长冷静下来，喜羊羊想到了一个计策：在成绩单中去掉几个数，使A1.A2A3…AN中AI总是大于等于AI-1，这样慢羊羊校长看着分数上升，心情才会好些。
这个问题交给了你，请你来完成。
输入
输入共两行。
第一行有一个整数n，表示成绩单上共有n只羊的成绩。
第二行有n个数，表示每只羊的成绩。
输出
输出仅一行。
输出一个数，表示成绩单经过筛选后，最多还能保留的羊的数量。
样例输入
11
1 3 6 3 4 7 5 7 6 7 8
样例输出
8
数据范围限制
100%的数据，1<=n<=100000

好了，大家赶快去作这四题。正解详见“最长不降子序列2”
……

最长不下降子序列问题
BetaCZH的博客
02-18 3128
DP最大不下降子序列前几天看了关于动态规划的内容，基本上讲的都是最大不下降序列，所以第一次博客 就写这个东西了。 最基本模板给出一系列的数，给出一个整数，即最长不下降子序列（code vs 1567) 题解：先另创一个数组，用来记录某一个数到目前为止的最大长度，用for语句将所有元素遍历 一遍就可以确定最长不下降子序列的长度了。 比如给出：21 22 63 15 从63开始（15不需要，
c++实现最长不下降子序列
MAIN_HELLOWORLD的博客
08-05 1987
c++实现最长不下降子序列 问题： 在一个数字序列中，找到最长的子序列（可以不连续），使得这个子序列是不下降（非递减）的。 求出此序列的长度 剖析： 本题使用DP. 状态转移方程 具体怎么弄呢？ 请看下面表格 原数组（a[5]） 1 3 2 2 3 状态 (f[5]) 1 2 2 3 4 解释一上面表格： 原数组不用说了就是输入的数 状态(f[n])就是如果只从a[0]~a[n]中的最长不下降子序列长度 首先 f[0] = 1; 之后 f[1] (a[i]=3) = 2(因为前面只有
求最长不下降序列
这是一个很懒（handsome）的人，所以什么也没有留下
02-27 344
求最长不下降序列 Time Limit:1000MS  Memory Limit:65536K Total Submit:398 Accepted:171 Description 设有n(n<=1000)个不相同的整数(小于32767)组成的数列，记为： 　　　　a1,a2,...,an,其中任意两个数不相同。 　　例如：3,18,7,14,10,12,23,41,16,2
求最长不降子序列
whyfrank的博客
08-10 1634
试题描述   给定一个整数序列a1、a2…an，求这个序列中的一个子序列（不一定连续），使得这个序列中的元素严格递增，并且这个序列最长。 输入 第一行，一个整数n。 第二行，n个整数，a1、a2...an。 输出 一行，一个整数，表示你所求的最大长度。 输入示例
最长不下降子序列
qq_36314864的博客
01-30 1706
最长不下降子序列(LIS) 在一个数字序列中，找到一个最长的子序列(可以不连续)，使得这个子序列是不下降(非递减)的。 题目 例如，现有序列A={1,2,3,-1,-2,7,9}(从下标1开始)，它的最长不下降序列是{1,2,3,7,9}，长度为5。另外，还有一些子序列是不下降子序列。 分析 令dp[i]表示以A[i]结尾的最长不下降子序列长度。这样对A[i]来说就会有两种可能 1）如果存在A[i]之前的元素A[j](j < i)，使得A[j]<=A[i]且dp[j]+1>dpi，那么就把
最长不下降子序列思路及解法
weixin_54777217的博客
11-08 985
最长不下降子序列学习日志
什么是最长上升子序列，和最长不下降子序列有什么区别
04-12
最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，简称 LIS）是一个经典的动态规划问题。给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。 上升子序列指的是一个子序列，它的每个元素都严格大于它前面的...
蓝桥杯最长不下降子序列，线段树python
m0_64675532的博客
04-02 964
给定一个长度为 N 的整数序列: A1​,A2​,⋯,AN​。请你计算如何修改可以使修改后的数 列的最长不下降子序列最长, 请输出这个最长的长度。最长不下降子序列是指序列中的一个子序列, 子序列中的每个数不小于在 它之前的数。对于所有评测用例,1≤K≤N≤105,1≤Ai​≤106。对于 50%50% 的评测用例, 1≤K≤N≤10000;对于 30%30% 的评测用例, 1≤K≤N≤1000;第二行包含 N 个整数 A1​,A2​,⋯,AN​。对于 20%20% 的评测用例, 1≤K≤N≤100;
求最长不下降序列（信息学奥赛一本通-T1259）
Alex_McAvoy的博客
05-31 7043
【题目描述】 设有由n(1≤n≤200)个不相同的整数组成的数列，记为:b(1)、b(2)、……、b(n)且b(i)≠b(j)(i≠j)，若存在i1&lt;i2&lt;i3&lt;…&lt;ie 且有b(i1)&lt;b(i2)&lt;…&lt;b(ie)则称为长度为e的不下降序列。程序要求，当原数列出之后，求出最长的不下降序列。 例如13，7，9，16，38，24，37，18，44，1...
浅析最长不下降子序列一题的方法
Hello,I'm Proking.
08-08 1223
对于最长不下降子序列一题，问题描述如下： 有长度为N的序列: A1 A2 …..An 求最长不下降子序列：Ai1,Ai2,,,,,Aik, 其中ai1 求最长不下降子序列的长度  一看最长不下降子序列，最先想到的肯定是O(n²)的DP解法，当然，这里还是写下代码，加深理解： var a,f:array[1..1000] of longint; n
最长不降子序列
SPACE-TIME TARAVELER
08-15 776
知行合一，自强不息   最长不降子序列     这题目是经典的DP题目，也可叫作LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升子序列或者 最长不下降子序列。很基础的题目，有两种算法，复杂度分别为O(n*logn)和O(n^2) 。   一．问题描述     设有由n个不相同的整数组成的数列，记为:     a(1)、a(2)、……、a(n)且
【算法】动态规划 - 最长不下降子序列（LIS）
只想用最简短的代码刷题
02-14 895
最长不下降子序列（Longest Increasing Sequence）：在一个数字序列中，找到一个最长的子序列（可以不连续），使得这样的子序列是不下降（即非递减）的。 例如序列 a = {1, 2, 3, -1, -2, 7, 9}，它的最长不下降子序列是 {1, 2, 3, 7, 9} 长度为5，{1, 2, 3} 和 {-2, 7, 9} 也是非递减序列但不是最长的。 动态规划求解：dp[...
蓝桥杯最长不下降子序列
最新发布
03-25
### 关于蓝桥杯竞赛中最长不下降子序列的解法 最长不下降子序列问题是经典的动态规划问题之一，在蓝桥杯竞赛中有较多涉及。以下是针对该问题的具体解题思路和实现方法。 #### 1. 动态规划的核心思想 对于最长不下降子序列（Longest Non-decreasing Subsequence, LNDS），可以通过定义一个数组 `dp[]` 来记录以每个位置结尾的最长不下降子序列长度。设输入序列为 `arr[n]`，则状态转移方程为： \[ dp[i] = \max(dp[j]) + 1 \quad (0 \leq j < i \text{ and } arr[j] \leq arr[i]) \] 其中 \( dp[i] \) 表示以第 \(i\) 个元素结尾的最长不下降子序列长度[^2]。 最终的结果即为整个数组中的最大值 \( \max(dp[]) \)[^2]。 --- #### 2. 时间复杂度分析 朴素的动态规划解决方案的时间复杂度为 \(O(n^2)\)，因为需要两层嵌套循环来计算每一个 \(dp[i]\) 的值。然而，通过引入二分查找技术，可以将时间复杂度降低到 \(O(n\log n)\)[^2]。 改进后的核心思想是维护一个单调递增的辅助数组 `tail[]`，并利用二分查找更新这个数组的内容。具体过程如下： - 初始化 `tail[0] = arr[0]`； - 对于后续的每个元素 \(arr[i]\)，如果它大于当前 `tail` 数组的最大值，则将其追加至 `tail` 后面；否则，找到第一个比 \(arr[i]\) 大的位置，并替换掉那个位置上的值。 这种方法不仅能够高效解决最长不下降子序列问题，还适用于其他类似的变种问题。 --- #### 3. 实现代码示例 下面是基于 C++ 和 Python 的两种实现方式： ##### **C++ 实现** ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int computeLNDS(vector<int> &arr){ vector<int> tail; for(auto num : arr){ auto it = lower_bound(tail.begin(), tail.end(), num); if(it == tail.end()) { tail.push_back(num); // 如果找不到合适的插入点，则扩展尾部 } else{ *it = num; // 替换已有的较大值 } } return tail.size(); // 返回结果为 tail 的大小 } int main(){ int n; cin >> n; vector<int> arr(n); for(int &num : arr) cin >> num; cout << computeLNDS(arr) << endl; } ``` ##### **Python 实现** ```python from bisect import bisect_left def compute_LNDS(arr): tail = [] for num in arr: idx = bisect_left(tail, num) if idx == len(tail): tail.append(num) # 扩展尾部 else: tail[idx] = num # 替换已有较大的值 return len(tail) if __name__ == "__main__": n = int(input()) arr = list(map(int, input().split())) print(compute_LNDS(arr)) ``` 以上代码均采用了 \(O(n\log n)\) 的优化策略。 --- #### 4. 进一步思考与优化建议 尽管上述方法已经非常高效，但在某些特殊场景下仍需注意以下几点： - 当数据规模特别大时，应考虑内存占用以及 I/O 效率的影响。 - 若题目要求输出具体的子序列而非仅限长度，则需要额外保存路径信息以便回溯重建结果。 ---
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