Z-Algorithm详解

Z-Algorithm详解

0.前言

给你一个文本串$t$和一个模式串$p$，让你寻找$p$在$t$中出现的所以位置。

例如，$t="abacababac"$，$p="aba"$，那么$p$在$t$中出现了$3$次，起始位置在$t$中的下标分别是$1$，$5$，$7$。

很显然可以想到$O(|t|\ast |p|)$的暴力算法，即以每一个位置为起始位置，暴力匹配每一个字符。但是如果$t$和$p$的长度都是$10^5$级别的就会超时，我们需要更高效的方法。在中国有一个$KMP$算法比较流行，但是我个人比较喜欢$Z-algorithm$。这里我给大家讲一下这个。

1.一些函数的定义

我们定义$z_i(s)$为对于所有的$2\le i\le |s|$，以$i$开头的子串和$s$的最长公共前缀的长度

如：

$s="aba"$，那么$z_3(s)=1$（以$3$为起始位置，能够匹配$s$长度为$1$的前缀$"a"$，但匹配不了长度为$2$的前缀$"ab"$)。

$s="abcabcab"$，那么$z_4(s)=5$

$s="abacababaca"$，那么$z_5(s)=3,z_7(s)=5$

2.如果已知$z_i$的值如何求出答案

我们将$p$粘在$s$的前面，中间用一个字符（如下划线）隔开，可以得到一个字符串$s$。我们假设我们已经知道了所有$z_i(s)$的值，那么怎么求出答案呢。

我们可以扫描$s$串中从$|p|+2$一直到$|p|+|t|+1$的位置$i$，也就是原来的$t$字符串的位置，然后判断$z_i(s)$是否等于$p$字符串的长度。如果等于，那么在以$t$字符串的这个位置就可以匹配$p$字符串。

为什么这个方法是正确的？

首先，根据$z_i(s)$的定义，它表示以$i$开头的子串和$s$的最长公共前缀的长度。我们知道，$s$是由$p$粘在$t$的前面得到的，因此$s$的前缀实际上就是$p$字符串，而又因为我们$p$和