本文详细探讨了凸函数的一阶和二阶条件，通过证明展示了这些条件是凸函数性质的充分必要条件。内容包括从一阶条件推导凸函数定义，以及利用泰勒展开和拉格朗日余项证明二阶条件的重要性。
前情回顾
上篇文章给出了凸函数二阶条件，即对于凸集SSS上的函数fff为凸函数的充要条件为
▽f(x)⪰0(x∈domf)\triangledown f(x)\succeq0\left(x\in domf\right)▽f(x)⪰0(x∈domf)
在次给出个人推导的证明，如有错误还请指出。
证明：
充分性：
首先列出凸函数定义式和一阶条件式
f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)
f(y)≥f(x)+▽f(x)T(y−x)f(y)\geq f(x)+\triangledown f(x)^T (y-x)f(y)≥f(x)+▽f(x)T(y−x)
由一阶条件可得 f(x)≤f(y)−▽f(x)T(y−x)f(x)\leq f(y)-\triangledown f(x)^T(y-x)
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