凸优化理论（2）

上篇博客开始了我的凸优化之旅，介绍了凸集和凸函数的定义，这篇博客给出凸函数非常有用的性质和判别条件，并给出其数学证明，同时给出强凸函数定义。

首先勘误一下上篇博客关于严格凸的定义，其条件不是$\lambda \in [0,1]$，而是$\lambda \in (0,1)$
1、性质1：局部最优就是全局最优
证明： 利用反证法进行证明，假设$f(x^{\ast })$为找到的一个局部最小值，假设还存在一个$f(x_n)$更小，即
$$f(x^{\ast })>f(x_n)$$
则在凸集$S$上，由凸函数定义有
$$f(x^{\ast }+\lambda (x_n-x^{\ast }))\le \lambda f(x_n)+(1-\lambda )f(x^{\ast })$$
其中$\lambda \in [0,1]$，如果令$\lambda$不为0，则f(x∗+λ(xn−x∗))<f(x∗)f(x^*+\lambda (x_n-x^*))<f(x^*)f(x