本文深入探讨了组合数学中的递推关系和生成函数。讲解了斐波那契数列的递推公式、通项公式及其与二项式系数的关系。接着阐述了生成函数的概念，包括一元生成函数、指数生成函数及其在解决排列组合问题中的应用。此外，还详细分析了线性递推关系，包括齐次递推和非齐次递推的解法，并提到了生成函数法在处理这类问题上的有效性。最后，举例说明了非线性递推关系的应用，如卡特兰数的计算。
C4 递推关系与生成函数
S0 斐波那契数列
1）递推公式：fn+2=fn+1+fn,f0=0,f1=1f_{n+2} = f_{n+1}+f_n,f_0 = 0,f_1 = 1fn+2=fn+1+fn,f0=0,f1=1
2）通项公式：fn=15[(1+52)n−(1−52)n]f_n = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]fn=51[(21+5)n−(21−5)n]
3）与二项式系数关系：fn=∑k=0n−1Cn−1−kkf_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1}C_{n-1-k}^kfn=k=0∑n−1Cn−1−kk，即 Pascal 三角形从左下到右上每条线的和
4）部分和：Sn=fn+2−1S_n = f_{n+2}-1Sn=fn+2−1
S1 生成函数
1）生成函数：f(x)=∑k=0∞akxkf(x) = \sum\limits_{k=0}^\infin a_k x^kf(x)=k=0∑∞akxk
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Sn=∑k=0nakS_n=\sum\limits_{k=0}^na_kSn=k=0∑nak 的生成函数：f(x)1−x\frac{f(x)}{1-x}1−xf(x)
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kkk 元无限多重集 nnn 组合（∑i=1kcixi=n\sum\limits_{i=1}^k c_ix_i = ni=1∑kci
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