递归算法的复杂度推导

递归算法的复杂度

文字和代码来源：《数据结构与算法python语言描述》裘宗燕
推导过程为原创，应该有不够严谨之处，欢迎指出
递归算法通常具有如下的算法模式

def recur(n):
	if n == 0:
		return g(...)
	somework
	for i in range(a):
		x = recur(n/b)
		somework
	somework

也就是说，n值为0时直接得到结果，否则将原问题归结为a个规模为n/b的子问题，其中a和b是由具体问题决定的两个常量。另外，在本层递归中还需要一些工作，上面描述里用somework表示，其时间复杂度可能与n有关，设为$O(n^k)$。这个k也应该是常量，k=0表示这部分工作与n无关。
得到递归方程如下：
$$T(n)=O(n^k)+a\times T(n/b)=O(n^k)+a\times (O(n/b{)}^k+a\times T(n/b))=...=O(n^k)+a\times O(n/b{)}^k+a^2\times O(n/b^2{)}^k+...+a^{(lo{g}_{b}n)-1}\times O((n/b^{(lo{g}_{b}n)-1}{)}^k)+a^{lo{g}_{b}n}\times T(1)$$
这里面$T(1)=O(1),a^{lo{g}_{b}n}=a^{lo{g}_{a}n/lo{g}_{a}b}=n^{lo{g}_{a}b}$，注意到a,b,k都是常数
所以有
$$T(n)=O(n^k)+a\times O(n/b{)}^k+a^2\times O(n/b^2{)}^k+...+a^{(lo{g}_{b}n)-1}\times O(b^k)+O(n^{lo{g}_{a}b})$$
根据加法原则
当$a>b^k,即k<lo{g}_{b}a时$
$$a>b^k,T(n)=O(n^{lo{g}_{b}a})$$
当$a=b^k,即k=lo{g}_{b}a时$
总共有$(lo{g}_{b}n+1)个O(n^k)$，忽略常数造成的影响
$$a=b^k,T(n)=O(n^{k}lo{g}_{2}n)$$
当$a<b^k,即k>lo{g}_{b}a时$
$$a<b^k,T(n)=O(n^k)$$