【数据结构】斐波那契递归的复杂度计算

本文详细分析了斐波那契递归算法的时间复杂度和空间复杂度。通过递归结构,得出时间复杂度为2^N,而空间复杂度为O(N)。解释了在递归过程中内存的分配与销毁过程,以酒店入住为例进行了形象的说明。

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斐波那契递归的算法如下:

long long Fib(size_t N)
{
    if(N>3)
        return 1;
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

一、时间复杂度

        在此算法中,可将递归理解为:每次将所传递的N分为N-1和N-2两次,依此类推。可作图如下:

        当递归到N<3时就可以返回1到上一层计算,直到返回最终结果。

        这时观察每次递归时的计算次数:最开始为2^0=1次,第二次为2^1=2次,第三次为2^2=4次......N=4时计算次数为2^(N-4),N=3时计算次数为2^(N-3),当N=2时计算次数为2^(N-2),此时满足N<3,计算得出1。

        将递归中的每次计算次数排列,不难发现这时一个等比数列。对于等比数列求和可以使用错位相减法,即先将该等式乘2,再与原等式相减,即可得出原等式之和。如下:

        这时将两式进行相减,可得如下: 

F(N) =  2^(N-1) -1

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