【数据结构】斐波那契递归的复杂度计算

斐波那契递归的算法如下：

long long Fib(size_t N)
{
    if(N>3)
        return 1;
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

一、时间复杂度

        在此算法中，可将递归理解为：每次将所传递的N分为N-1和N-2两次，依此类推。可作图如下：

        当递归到N<3时就可以返回1到上一层计算，直到返回最终结果。

        这时观察每次递归时的计算次数：最开始为2^0=1次，第二次为2^1=2次，第三次为2^2=4次......N=4时计算次数为2^(N-4)，N=3时计算次数为2^(N-3)，当N=2时计算次数为2^(N-2)，此时满足N<3，计算得出1。

        将递归中的每次计算次数排列，不难发现这时一个等比数列。对于等比数列求和可以使用错位相减法，即先将该等式乘2，再与原等式相减，即可得出原等式之和。如下：

        这时将两式进行相减，可得如下： 

F(N) =  2^(N-1) -1

        这时使用大O的渐进表示法进行推导，即可得出

此算法的时间复杂度为 ： F(N) = 2^N

二、空间复杂度

        在递归调用时，并不会同时调用Fib(N-1)和Fib(N-2)，而是先完成N-1直至传递的参数为2，满足小于3的条件返回1之后才会再调用Fib(N-2)。

        在这个期间，Fib(N-1)调用结束后，栈帧就被销毁。在开始调用Fib(N-2)时，可能仍和Fib(N-1)使用的是同一块内存空间。

空间的销毁是将使用后的内存空间归还给操作系统的进程。

        这里以酒店进行举例：

        将一酒店看作内存：

                客人A入住某房间，即酒店将此房间的使用权限交给客人A，可看作操作系统将这块内存空间分配给某程序；

                当客人A退房离开时，即将房间归还给酒店，可视为该程序将这块内存空间归还给操作系统（销毁）；

                这时，酒店可将该房间重新分配给新来的客人B。

        程序将内存销毁归还操作系统后，操作系统仍可将此内存空间分配给别的应用程序。

        在此算法中，在Fib(N-1)时共开辟了N块空间，此递归结束后这些空间被销毁，在Fib(N-2)时，使用了与前者相同的空间。

        故此算法的空间复杂度为F(N) = O(N)