【数据结构】斐波那契递归的复杂度计算

斐波那契递归的算法如下：

long long Fib(size_t N)
{
    if(N>3)
        return 1;
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

一、时间复杂度

        在此算法中，可将递归理解为：每次将所传递的N分为N-1和N-2两次，依此类推。可作图如下：

        当递归到N<3时就可以返回1到上一层计算，直到返回最终结果。

        这时观察每次递归时的计算次数：最开始为2^0=1次，第二次为2^1=2次，第三次为2^2=4次......N=4时计算次数为2^(N-4)，N=3时计算次数为2^(N-3)，当N=2时计算次数为2^(N-2)，此时满足N<3，计算得出1。

        将递归中的每次计算次数排列，不难发现这时一个等比数列。对于等比数列求和可以使用错位相减法，即先将该等式乘2，再与原等式相减，即可得出原等式之和。如下：

        这时将两式进行相减，可得如下： 

F(N) =  2^(N-1) -1

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