有关向量的叉乘

最新推荐文章于 2025-05-14 17:16:51 发布

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分类专栏：计算方法文章标签：计算方法向量乘机

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本文详细解析了向量叉乘的计算方法，包括二维及三维向量的叉乘公式，展示了如何通过行列式进行计算，并解释了叉乘结果的几何意义。

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1.当两个向量均为二维向量时:

$y1)\overrightarrow{a}\ =\ \left( x_1\ ,\ y_1 \right)$ $y2)\overrightarrow{b}\ =\ \left( x_2\ ,\ y_2 \right)$

则，其结果为：
$y1x2)j→\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\ \left( x_1y_2\ -\ y_1x_2 \right) \overrightarrow{j}$
该乘积的结果是向量，取其模可以用于由A和B构成的平行四边形的面积，该向量的方向垂直于向量a、b.

2.当两个向量均为三维向量时：

$y1)\overrightarrow{a}\ =\ \left( x_1\ ,\ y_1,\ y_1 \right)$ $z2)\overrightarrow{b}\ =\ \left( x_2\ ,\ y_2 ,\ z_2\right)$
则，可以写为：
$\left| \begin{matrix} i& j& k\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ \end{matrix} \right|$
经行列式计算的结果为：
$x1y2−x2y1)\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\ \left( y_1z_2-z_1y_2\ ,\ x_2z_1-x_1z_2 ,\ x_1y_2-x_2y_1\right)$

3.用行列式计算二维向量叉乘

$y1)\overrightarrow{a}\ =\ \left( x_1\ ,\ y_1,\ y_1 \right)$ $z2)\overrightarrow{b}\ =\ \left( x_2\ ,\ y_2 ,\ z_2\right)$
则，可以写为：
$\left| \begin{matrix} i& j& k\\ x_1& y_1& 0\\ x_2& y_2& 0\\ \end{matrix} \right|$
经行列式计算的结果为：
$x1y2−x2y1)\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\ \left( y_1*0-0*y_2\ ,\ x_2*0-x_1*0 ,\ x_1y_2-x_2y_1\right)$
即为：
$x1y2−x2y1)k→\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\ \left( \ x_1y_2-x_2y_1\right) \overrightarrow{k}$