Wigner D--矩阵

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分类专栏：数学基础原理文章标签：矩阵深度学习计算机视觉

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Wigner D-矩阵

在计算球面卷积（spherical CNN）的时候，对图像和卷积核进行傅里叶变换，然后通过矩阵相乘和傅里叶逆变换，来进行卷积。其中，图像就是球面图像，第一层卷积网络的卷积核是在s2球面上卷积，从第二层开始后面的卷积核都是在SO(3)群上的卷积。
Wigner D 矩阵是SU(2)和SO(3)群的不可约表示中的酉矩阵。它由尤金·维格纳 (Eugene Wigner)于 1927 年提出，在角动量的量子力学理论中起着基础性作用。D 矩阵的复共轭是球形和对称刚性转子的哈密顿量的特征函数。Wigner D-矩阵就是卷积过程中SO(3)群的基底，相当于基础的傅里叶变换中的sin 和cos。

基础知识

若我们把球谐函数 $Y_{l, m}(\hat{\mathbf{r}})$ 绕原点进行某种旋转，得到的函数可以表示成球谐函数的线性组合，且只需要同一个 $l$ 子空间中的球谐函数，若将旋转算符（主动）记为 $R$ ，则
$\mathcal{R}|l, m\rangle=\sum_{m^{\prime}}\left|l, m^{\prime}\right\rangle\left\langle l, m^{\prime}|\mathcal{R}| l, m\right\rangle$

我们把系数矩阵称为 Wigner D 矩阵
$D_{m^{\prime}, m}^l=\left\langle l, m^{\prime}|\mathcal{R}| l, m\right\rangle .$

代码

e3nn

def change_basis_real_to_complex(l: int, dtype=None, device=None) -> torch.Tensor:
    # https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics#Real_form
    q = torch.zeros((2 * l + 1, 2 * l + 1), dtype=torch.complex128)
    for m in range(-l, 0):
        q[l + m, l + abs(m)] = 1 / 2**0.5
        q[l + m, l - abs(m)] = -1j / 2**0.5
    q[l, l] = 1
    for m in range(1, l + 1):
        q[l + m, l + abs(m)] = (-1) ** m / 2**0.5
        q[l + m, l - abs(m)] = 1j * (-1) ** m / 2**0.5
    q = (-1j) ** l * q  # Added factor of 1j**l to make the Clebsch-Gordan coefficients real

    dtype, device = explicit_default_types(dtype, device)
    dtype = {
        torch.float32: torch.complex64,
        torch.float64: torch.complex128,
    }[dtype]
    # make sure we always get:
    # 1. a copy so mutation doesn't ruin the stored tensors
    # 2. a contiguous tensor, regardless of what transpositions happened above
    return q.to(dtype=dtype, device=device, copy=True, memory_format=torch.contiguous_format)
def su2_generators(j) -> torch.Tensor:
    m = torch.arange(-j, j)
    raising = torch.diag(-torch.sqrt(j * (j + 1) - m * (m + 1)), diagonal=-1)

    m = torch.arange(-j + 1, j + 1)
    lowering = torch.diag(torch.sqrt(j * (j + 1) - m * (m - 1)), diagonal=1)

    m = torch.arange(-j, j + 1)
    return torch.stack(
        [
            0.5 * (raising + lowering),  # x (usually)
            torch.diag(1j * m),  # z (usually)
            -0.5j * (raising - lowering),  # -y (usually)
        ],
        dim=0,
    )
def so3_generators(l) -> torch.Tensor:
    X = su2_generators(l)
    Q = change_basis_real_to_complex(l)
    X = torch.conj(Q.T) @ X @ Q
    assert torch.all(torch.abs(torch.imag(X)) < 1e-5)
    return torch.real(X)
def wigner_D(l, alpha, beta, gamma):
    alpha, beta, gamma = torch.broadcast_tensors(alpha, beta, gamma)
    alpha = alpha[..., None, None] % (2 * math.pi)
    beta = beta[..., None, None] % (2 * math.pi)
    gamma = gamma[..., None, None] % (2 * math.pi)
    X = so3_generators(l)
    return torch.matrix_exp(alpha * X[1]) @ torch.matrix_exp(beta * X[0]) @ torch.matrix_exp(gamma * X[1])