算法题：栈

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。
栈有两种最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。
栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，从1，2，一直到n（图示为1到3的情况），栈A的深度大于n。
现在可以进行两种操作：

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的push操作）

2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的pop操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由1 2 3生成序列2 3 1的过程。（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入

输入只含一个整数n（1≤n≤18）。

输出

输出只有一行，即可能输出序列的总数目。

样例输入
3
样例输出
5

其实这个问题相当于问pop和push的排序顺序有多少种。
可以用深度优先解决

#include<iostream>
using namespace std;
int a[100]={0};
int num=0,x,y;
bool judge(int n){
 int num1=0,num2=0;
 for(int i=0;i<=n;i++){
  if(a[i]==1)              //1代表入栈，2代表出栈
   num1++;
  else
   num2++;
  if(num1>y)
   return false;
 }
 if(num1<num2)
  return false;
 else
  return true;
}
void dfs(int n){
 if(n==x){
  num++;
  return;
 }
 int b[2]={1,2};
 for(int i=0;i<2;i++){
  a[n]=b[i];
  if(judge(n))
   dfs(n+1);
  a[n]=0;
 }
}
int main(){
 cin>>y;
 x=2*y;
 dfs(0);
 cout<<num;
 return 0;
}

但是当n稍微大一点，就需要等待特别长的时间才能出结果。如果n=18时，需要等待几分钟。

我们进一步分析
这个问题有两个特点：

1. pop和push的次数是一样的。
2. 每次pop之前一定会有一次push。

假设push对应坐标系中的点向右移动一个单位，pop对应坐标系中的点向上移动一个单位（规定起点在原点）

那么由于之前的两个特点我们可知：

1. 点最后会落到y=x上。
2. 点在移动过程中，不会到达y=x的上方。

问题就变成了：由原点到达（n，n）一共有多少种走法？（点只能向上和向右移动，且移动过程中不能到达y=x的上方）
用f(x,y)代表从原点到(x,y)走法的数量，那么f(n,n)=f(n,n-1);f(n,n-1)=f(n-1,n-1)+f(n,n-2);f(n,n-2)=f(n-1,n-2)+f(n,n-3)…f(n,0)=f(n-1,0)
综上，f(n,n)=f(n,n-1)=f(n-1,n-1)+f(n-1,n-2),f(n-1,n-3)…f(n-1,1)+f(n-1,0)。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
 int a[19]={1};
 int n;
 cin>>n;
 for(int i=0;i<n;i++){
  for(int j=0;j<i+1;j++){
   a[j+1]+=a[j];
  }
 }
 cout<<a[n];
 return 0;
}