分布律的期望和方差_概率ch4_2 方差

一、第4章知识结构

二、第4章第2节 主要内容及考研要求

1. 方差、标准差的定义公式(理解)

2. 离散型和连续型随机变量方差的计算公式(理解)

3. 方差的等价计算公式(掌握、重点)

4. 常用分布的方差(掌握、重点)

5. 方差的性质(掌握点)

6. 独立正态变量线性组合的数学期望和方差(掌握、重点)

7. 切比雪夫不等式(了解)

三、第4章考研必做习题

第4章习题：4、6、7、8、9、10、13、15、16、20、22、26、28、29、30、32、34、36

一、 随机变量方差的概念及性质 1.概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量. 引例1 有两批灯泡,其平均寿命都是E(X)=1000小时

引例2 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数分别用X、Y表示，分布律分别为 

解：甲乙平均命中环数为 E(X)=8.9 (环)，E(Y)=8.9 (环)

       从平均水平看，甲、乙的技术水平不相上下，所以需要 进一步考虑他们射击的稳定性。

2.方差的性质(假设下列方差均存在)

切比雪夫不等式:

定理  设随机变量X的数学期望E(X)=μ, 方差D(X)=，则对任意的正数ε，有

--------切比雪夫(chebyshev)不等式．

证 (仅就X为连续型时来证)设X的概率密度为(x)，则

[注]此不等式给出了在随机变量的分布未知的情况下事件{|X-E(X)|

例9  设 E(X)=-2, D(X)=1，E(Y)=2, D(Y)=4,  且X与Y独立，根据切比雪夫不等式估 P{|X+Y|≥5}.           答案：≤15

例10  设随机变量X服从泊松分布，且

求X的数学期望与方差.                  答案: [2=1, E(X)= D(X)=1]

例11  设随机变量X具有概率密度

求D(X).