不定积分计算（平方差类型）

最新推荐文章于 2023-08-14 12:09:31 发布

ZQYnn~

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分类专栏：高数文章标签：高等数学

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本文详细解析了一类不定积分的计算过程，以∫x2−a2dx为例，通过换元法和公式应用，展示了从初步转换到最终结果的每一步骤，特别关注于∫sec3tdt的解法。

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不定积分计算

不定积分的计算 $∫x2−a2dx\int\sqrt{x^{2}-a^{2}}dx$ 类型

发现自己貌似学的又是假的高数??，我推一个基本的公式没算出来，一个步骤卡壳了，记录一下吧~

题目：

$∫x2−a2dx\int\sqrt{x^{2}-a^{2}}dx$

解题思路：

一看是： $x2−a2\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ 自然就令 ${x = asect}$ 去掉根号解题。

解题步骤

直接展开计算得到：

$∫a22tan⁡2tsectdt\int a^2{2}\tan^{2}t sectdt$
提取常数， ${tan^2}$ 替换为 ${sec^2 - 1}$ 得到：

$a2∫(sec3t−sect)dt{a^2\int\left( sec^{3}t - sect\right)dt}$
不定积分的性质拆分得到：

$a2∫sec3tdt−a2∫sectdt{a^2\int sec^3t dt - a^2\int sect dt}$

好就到这里，没算出来 $∫sec3tdt\int sec^3t dt$ 这个部分,之前没算过~ 断了思路卡住了

后来我看到这个公式（之前就没用过呢），就解出来的这个题：：

$∫secm(t)dt=sin⁡(t)secm−1(t)m−1+m−2m−1∫sec‾2+m(t)dt\int sec^{m}\left( t\right) dt=\dfrac {\sin \left( t\right) sec^{m-1}\left( t\right) }{m-1}+\dfrac {m-2}{m-1}\int se\overline {c}^{2+m}\left( t\right) dt$

有上公式解 $a2∫sec3tdt{a^2\int sec^3t dt }$

$12a2tan⁡tsect+12a2∫sectdt{\dfrac{1}{2}a^{2}\tan t sect + \dfrac{1}{2}}a^2\int sectdt$
合并得到：

$12a2tan⁡tsect−12a2∫sectdt{\dfrac{1}{2}a^{2}\tan t sect - \dfrac{1}{2}}a^2\int sectdt$
不定积分计算：

$12a2tan⁡tsect−12a2ln⁡∣sect+tan⁡t∣\dfrac{1}{2}a^{2}\tan t sect - \dfrac {1}{2}a^{2}\ln \left| sect+\tan t\right|$
算到这步，根据 ${x = asect}$ 直接画三角形表示对应的角得到：

$12a2x2−a2a⋅xa−12a2ln⁡∣xa+x2−a2a∣{\dfrac {1}{2}a^{2}\dfrac {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}{a}\cdot \dfrac {x}{a}-\dfrac {1}{2}a^{2}\ln \left| \dfrac {x}{a}+\dfrac {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}{a}\right| }$

最后解得：

$∫x2−a2dx\int\sqrt{x^{2}-a^{2}}dx$ = $x2x2−a2−a22ln⁡∣x+x2−a2∣+c{\dfrac {x}{2}\sqrt {x^{2}-a^{2}}-\dfrac {a^{2}}{2}\ln \left| x+\sqrt {x^{2}-a^{2}}\right| +c}$

总结：

同理， $∫x2+a2dx\int\sqrt{x^{2}+a^{2}}dx$ 也可求得为： $x2x2−a2+a22ln⁡∣x+x2−a2∣+c{\dfrac {x}{2}\sqrt {x^{2}-a^{2}}+\dfrac {a^{2}}{2}\ln \left| x+\sqrt {x^{2}-a^{2}}\right| +c}$ ，之前没遇到过，写到这不容易丢，方便及时回顾。