【分支限界法】求解TSP问题

问题描述

TSP问题是指旅行家要旅行n个城市，要求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市，并要求所走的路程最短。

求解思路

  采用贪心法求得近似解为1→3→5→4→2→1，其路径长度为1+2+3+7+3=16，这可以作为TSP问题的上界。
  把矩阵中每一行最小的元素相加，可以得到一个简单的下界，其路径长度为1+3+1+3+2=10，但是还有一个信息量更大的下界：考虑一个TSP问题的完整解，在每条路径上，每个城市都有两条邻接边，一条是进入这个城市的，另一条是离开这个城市的，那么，如果把矩阵中每一行最小的两个元素相加再除以2，如果图中所有的代价都是整数，再对这个结果向上取整，就得到了一个合理的下界。
  lb=((1+3)+(3+6)+(1+2)+(3+4)+(2+3))/2=14
  于是，得到了目标函数的界[14, 16]。
  需要强调的是，这个解并不是一个合法的选择（可能没有构成哈密顿回路），它仅仅给出了一个参考下界。
部分解的目标函数值的计算方法
  例如图所示无向图，如果部分解包含边(1, 3，5)，则该部分解的下界是lb=(2*(1+2)+3+3+(3+6)+(3+4))/2=14。



  应用分支限界法求解图9.4所示无向图的TSP问题，其搜索空间如图9.5所示，具体的搜索过程如下（加黑表示该路径上已经确定的边）：
（1）在根结点1，根据限界函数计算目标函数的值为lb=((1+3)+(3+6)+(1+2)+(3+4)+(2+3))/2=14；
（2）在结点2，从城市1到城市2，路径长度为3，目标函数的值为(23)+1+6+(1+2)+(3+4)+(2+3))/2=14，将结点2加入待处理结点表PT中；在结点3，从城市1到城市3，路径长度为1，目标函数的值为(21+1+1+(3+6)+(3+4)+(2+3))/2=14，将结点3加入表PT中；在结点4，从城市1到城市4，路径长度为5，目标函数的值为((2*5)+1+3+(3+6)+(1+2)+(2+3))/2=16，将结点4加入表PT中；在结点5，从城市1到城市5，路径长度为8，目标函数的值为((1+8)+(3+6)+(1+2)+(3+5)+(2+8))/2=19，超出目标函数的界，将结点5丢弃；
（3）在表PT中选取目标函数值极小的结点2优先进行搜索；
（4）在结点6，从城市2到城市3，目标函数值为((1+3)+(3+6)+(1+6)+(3+4)+(2+3))/2=16，将结点6加入表PT中；在结点7，从城市2到城市4，目标函数值为((1+3)+(3+7)+(1+2)+(3+7)+(2+3))/2=16，将结点7加入表PT中；在结点8，从城市2到城市5，目标函数值为
((1+3)+(3+9)+(1+2)+(3+4)+(2+9))/2=19，超出目标函数的界，将结点8丢弃；
（5）在表PT中选取目标函数值极小的结点3优先进行搜索；
（6）在结点9，从城市3到城市2，目标函数值为((1+3)+(3+6)+(1+6)+(3+4)+(2+3))/2=16，将结点9加入表PT中；在结点10，从城市3到城市4，目标函数值为((1+3)+(3+6)+(1+4)+(3+4)+(2+3))/2=15，将结点10加入表PT中；在结点11，从城市3到城市5，目标函数值为((1+3)+(3+6)+(1+2)+(3+4)+(2+3))/2=14，将结点11加入表PT中；
（7）在表PT中选取目标函数值极小的结点11优先进行搜索；
（8）在结点12，从城市5到城市2，目标函数值为((1+3)+(3+9)+(1+2)+(3+4)+(2+9))/2=19，超出目标函数的界，将结点12丢弃；在结点13，从城市5到城市4，目标函数值为((1+3)+(3+6)+(1+2)+(3+4)+(2+3))/2=14，将结点13
加入表PT中；
（9）在表PT中选取目标函数值极小的结点13优先进行搜索；
（10）在结点14，从城市4到城市2，目标函数值为((1+3)+(3+7)+(1+2)+(3+7)+(2+3))/2=16，最后从城市2回到城市1，目标函数值为((1+3)+(3+7)+(1+2)+(3+7)+(2+3))/2=16，由于结点14为叶子结点，得到一个可行解，其路径长度为16；
（11）在表PT中选取目标函数值极小的结点10优先进行搜索；
（12）在结点15，从城市4到城市2，目标函数的值为((1+3)+(3+7)+(1+4)+(7+4)+(2+3))/2=18，超出目标函数的界，将结点15丢弃；在结点16，从城市4到城市5，目标函数值为((1+3)+(3+6)+(1+4)+(3+4)+(2+3))/2=15，将结点16加入表PT中；
（13）在表PT中选取目标函数值极小的结点16优先进行搜索；
（14）在结点17，从城市5到城市2，目标函数的值为((1+3)+(3+9)+(1+4)+(3+4)+(9+3))/2=20，超出目标函数的界，将结点17丢弃；
（15）表PT中目标函数值均为16，且有一个是叶子结点14，所以，结点14对应的解1→3→5→4→2→1 即是TSP问题的最优解，搜索过程结束。

代码实现

/*分支限界法求解TSP问题
*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define MAXLENGTH 10
using namespace std;

//城市个数
int n;
//城市距离代价矩阵
int value[MAXLENGTH][MAXLENGTH];
//定义访问标识符
bool dfs_visited[MAXLENGTH];
//定义函数上界
int up;
//定义下界
int down;
//距离修正函数声明
void Modify();
//分支限界法求解TSP问题
int solve();
//贪心法计算上界
void get_up();
//计算下界
void get_down();
//贪心算法
int dfs(int, int, int);
//待处理节点表
struct  Node
{
   
   
	//节点访问标记
	bool visited[MAXLENGTH];
	//访问次序
	int cixu[MAXLENGTH];
	//第一个点
	int start;
	//第一个节点的邻接节点
	int start_p;
	//最后一个节点
	int end;
	//最后一个节点的邻接节点
	int end_p;
	//走过的点数
	int k;
	//经过路径的距离
	int sumv;
	//目标函数值
	int lb;
	//运算符重载
	//目标函数值小的先出队列
	bool operator <(const Node &p) const{
   
   
		return p.lb < lb;
	}
};

Node tmp;
//int number[20];

int result[MAXLENGTH];
int times=0;
//计算目标函数值
int get_lb(Node);
//建立一个优先队列
priority_queue<Node> pq;

int main(