向量叉乘三重积性质和拉格朗日公式的证明

向量叉乘三重积性质、向量拉格朗日公式和向量叉乘长度的证明

三重积性质

a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) . \boldsymbol{a}\times\left(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}\right)=\boldsymbol{b}\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\right)-\boldsymbol{c}\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right). a×(b×c)=b(ac)c(ab).
( a × b ) × c = b ( a ⋅ c ) − a ( b ⋅ c ) . \left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)\times\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\right)-\boldsymbol{a}\left(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}\right). (a×b)×c=b(ac)a(bc).

向量的拉格朗日公式

( a × b ) ⋅ ( c × d ) = ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) . \left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)\cdot\left(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d}\right)=\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\right)\left(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d}\right)-\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{d}\right)\left(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}\right). (a×b)(c×d)=(ac)(bd)(ad)(bc).

证明

  1. 向量点乘和叉乘的矩阵乘法表达形式
      统一使用列向量方式 a = ( a x a y a z ) \boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} a= axayaz 表示,那么易知 a ⋅ b = a ⊤ b \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}^\top\boldsymbol{b} ab=ab。规定 a × ≡ [ 0 − a z a y a z 0 − a x − a y a x 0 ] \boldsymbol{a}_\times\equiv\begin{bmatrix}0&-a_z&a_y\\a_z&0&-a_x\\-a_y&a_x&0\\\end{bmatrix} a× 0azayaz0axayax0 ,那么直接按照定义很容易推得 a × b = a × b \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}_\times\boldsymbol{b} a×b=a×b
  2. 向量三重积性质的证明
    a × ( b × c ) + c ( a ⋅ b ) = [ 0 − a z a y a z 0 − a x − a y a x 0 ] [ 0 − b z b y b z 0 − b x − b y b x 0 ] ( c x c y c z ) + ( a x b x + a y b y + a z b z ) [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ( c x c y c z ) = [ − a y b y − a z b z a y b x a z b x a x b y − a z b z − a x b x a z b y a x b z a y b z − a x b x − a y b y ] ( c x c y c z ) + [ a x b x + a y b y + a z b z 0 0 0 a x b x + a y b y + a z b z 0 0 0 a x b x + a y b y + a z b z ] ( c x c y c z ) = [ a x b x a y b x a z b x a x b y a y b y a z b y a x b z a y b z a z b z ] ( c x c y c z ) = ( b x b y b z ) ( a x a y a z ) ( c x c y c z ) = b a ⊤ c = b ( a ⋅ c ) . \begin{aligned} &\boldsymbol{a}\times\left(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}\right)+\boldsymbol{c}\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right)\\ =&\begin{bmatrix}0&-a_z&a_y\\a_z&0&-a_x\\-a_y&a_x&0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-b_z&b_y\\b_z&0&-b_x\\-b_y&b_x&0\\\end{bmatrix}\begin{pmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{pmatrix}+\left(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\right)\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix} \begin{pmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{pmatrix}\\ =&\begin{bmatrix} -a_yb_y-a_zb_z&a_yb_x&a_zb_x\\ a_xb_y&-a_zb_z-a_xb_x&a_zb_y\\ a_xb_z&a_yb_z&-a_xb_x-a_yb_y\\ \end{bmatrix} \begin{pmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{pmatrix}\\ &+\begin{bmatrix}a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z&0&0\\0&a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z&0\\0&0&a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\\\end{bmatrix} \begin{pmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{pmatrix}\\ =&\begin{bmatrix} a_xb_x&a_yb_x&a_zb_x\\ a_xb_y&a_yb_y&a_zb_y\\ a_xb_z&a_yb_z&a_zb_z\\ \end{bmatrix} \begin{pmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_x&a_y&a_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{pmatrix}\\ =&\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}^\top\boldsymbol{c}\\ =&\boldsymbol{b}\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\right)\\ \end{aligned}. ======a×(b×c)+c(ab) 0azayaz0axayax0 0bzbybz0bxbybx0 cxcycz +(axbx+ayby+azbz) 100010001 cxcycz aybyazbzaxbyaxbzaybxazbzaxbxaybzazbxazbyaxbxayby cxcycz + axbx+ayby+azbz000axbx+ayby+azbz000axbx+ayby+azbz cxcycz axbxaxbyaxbzaybxaybyaybzazbxazbyazbz cxcycz bxbybz (axayaz) cxcycz bacb(ac).
      从而有
    a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) . \boldsymbol{a}\times\left(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}\right)=\boldsymbol{b}\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\right)-\boldsymbol{c}\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right). a×(b×c)=b(ac)c(ab).
    ( a × b ) × c = − c × ( a × b ) = − a ( c ⋅ b ) + b ( c ⋅ a ) = b ( a ⋅ c ) − a ( b ⋅ c ) . \begin{aligned} &\left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)\times\boldsymbol{c}\\ =&-\boldsymbol{c}\times\left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)\\ =&-\boldsymbol{a}\left(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}\right)+\boldsymbol{b}\left(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}\right)\\ =&\boldsymbol{b}\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\right)-\boldsymbol{a}\left(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}\right) \end{aligned}. ===(a×b)×cc×(a×b)a(cb)+b(ca)b(ac)a(bc).
  3. 向量拉格朗日公式的证明
      根据上面第一条三重积性质,和混合积的性质 p ⋅ ( q × r ) = det ⁡ ( [ p q r ] ) = det ⁡ ( [ q r p ] ) = q ⋅ ( r × p ) \boldsymbol{p}\cdot\left(\boldsymbol{q}\times\boldsymbol{r}\right)=\det\left(\begin{bmatrix}\boldsymbol{p}&\boldsymbol{q}&\boldsymbol{r}\\\end{bmatrix}\right)=\det\left(\begin{bmatrix}\boldsymbol{q}&\boldsymbol{r}&\boldsymbol{p}\\\end{bmatrix}\right)=\boldsymbol{q}\cdot\left(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}\right) p(q×r)=det([pqr])=det([qrp])=q(r×p),有:
    ( a × b ) ⋅ ( c × d ) = ( c × d ) ⋅ ( a × b ) = a ⋅ [ b × ( c × d ) ] = a ⋅ [ c ( b ⋅ d ) − d ( b ⋅ c ) ] = ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) . \begin{aligned} &\left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)\cdot\left(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d}\right)\\ =&\left(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d}\right)\cdot\left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)\\ =&\boldsymbol{a}\cdot\left[\boldsymbol{b}\times\left(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d}\right)\right]\\ =&\boldsymbol{a}\cdot\left[\boldsymbol{c}\left(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d}\right)-\boldsymbol{d}\left(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}\right)\right]\\ =&\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\right)\left(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d}\right)-\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{d}\right)\left(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}\right)\\ \end{aligned}. ====(a×b)(c×d)(c×d)(a×b)a[b×(c×d)]a[c(bd)d(bc)](ac)(bd)(ad)(bc).
  4. 向量叉积长度的证明。
      由向量的拉格朗日公式有:
    ∥ a × b ∥ 2 = ( a × b ) ⋅ ( a × b ) = ( a ⋅ a ) ( b ⋅ b ) − ( a ⋅ b ) ( b ⋅ a ) = ∥ a ∥ 2 ∥ b ∥ 2 − ∥ a ∥ 2 ∥ b ∥ 2 cos ⁡ 2 θ a b = ∥ a ∥ 2 ∥ b ∥ 2 sin ⁡ 2 θ a b . \begin{aligned} &{\left\Vert\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right\Vert}^2\\ =&{\left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)}\cdot{\left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)}\\ =&{\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}\right)}{\left(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}\right)}-{\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right)}{\left(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}\right)}\\ =&{\left\Vert\boldsymbol{a}\right\Vert}^2{\left\Vert\boldsymbol{b}\right\Vert}^2-{\left\Vert\boldsymbol{a}\right\Vert}^2{\left\Vert\boldsymbol{b}\right\Vert}^2\cos^2\theta_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}}\\ =&{\left\Vert\boldsymbol{a}\right\Vert}^2{\left\Vert\boldsymbol{b}\right\Vert}^2\sin^2\theta_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}} \end{aligned}. ====a×b2(a×b)(a×b)(aa)(bb)(ab)(ba)a2b2a2b2cos2θaba2b2sin2θab.
      从而有
    ∥ a × b ∥ = ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin ⁡ θ a b . {\left\Vert\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right\Vert}={\left\Vert\boldsymbol{a}\right\Vert}{\left\Vert\boldsymbol{b}\right\Vert}\sin\theta_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}}. a×b=absinθab.
      其中向量点积的长度可以简单由余弦定理推出:
    ∥ a ∥ 2 + ∥ b ∥ 2 − 2 a ⋅ b   = a ⋅ a + b ⋅ b − a ⋅ b − b ⋅ a = ( a − b ) ⋅ ( a − b ) = ∥ a − b ∥ 2 = ∥ a ∥ 2 + ∥ b ∥ 2 − 2 ∥ a ∥ ∥ b ∥ cos ⁡ θ a b . \begin{aligned} &{\left\Vert\boldsymbol{a}\right\Vert}^2+{\left\Vert\boldsymbol{b}\right\Vert}^2-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\\\ =&\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}\\ =&{\left(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right)}\cdot{\left(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right)}\\ =&{\left\Vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right\Vert}^2\\ =&{\left\Vert\boldsymbol{a}\right\Vert}^2+{\left\Vert\boldsymbol{b}\right\Vert}^2-2{\left\Vert\boldsymbol{a}\right\Vert}{\left\Vert\boldsymbol{b}\right\Vert}\cos\theta_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}} \end{aligned}.  ====a2+b22abaa+bbabba(ab)(ab)ab2a2+b22abcosθab.
      从而有
    a ⋅ b = ∥ a ∥ ∥ b ∥ cos ⁡ θ a b . {\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}={\left\Vert\boldsymbol{a}\right\Vert}{\left\Vert\boldsymbol{b}\right\Vert}\cos\theta_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}}. ab=abcosθab..
      至于向量叉积的方向,由混合积的性质有 a ⋅ ( a × b ) = b ⋅ ( a × a ) = 0 \boldsymbol{a}\cdot\left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)=\boldsymbol{b}\cdot\left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}\right)=\boldsymbol{0} a(a×b)=b(a×a)=0 b ⋅ ( a × b ) = a ⋅ ( b × b ) = 0 \boldsymbol{b}\cdot\left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)=\boldsymbol{a}\cdot\left(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{b}\right)=\boldsymbol{0} b(a×b)=a(b×b)=0,知 a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b 均与 a × b \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} a×b 垂直,再结合 ( 1 0 0 ) × ( 0 1 0 ) = ( 0 0 1 ) \begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix} 100 × 010 = 001 即可知道叉乘方向为右手系与两向量垂直。
<think>我们讨论的是矩阵点积(即内积)矩阵(即向量积)的区别与应用场景。首先,需要明确这两个概念在线性代数中的定义适用范围。1.**矩阵点积(内积)**:-定义:对于两个向量$\mathbf{a}=[a_1,a_2,\dots,a_n]$$\mathbf{b}=[b_1,b_2,\dots,b_n]$,其点积定义为:$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i$$在矩阵形式中,点积可以表示为$\mathbf{a}^T\mathbf{b}$(即第一个向量的转置与第二个向量矩阵积,结果是一个标量)[^4]。-应用场景:点积常用于计算两个向量的相似度、投影长度、夹角余弦($\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|}$)等。在几何上,点积可以衡量两个向量的方向一致性。在机器学习中,点积常用于全连接层的计算、注意力机制中的得分计算等。2.**矩阵向量积)**:-定义:仅适用于三维空间中的向量。对于两个三维向量$\mathbf{a}=[a_x,a_y,a_z]$$\mathbf{b}=[b_x,b_y,b_z]$,其结果为:$$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{bmatrix}a_yb_z-a_zb_y\\a_zb_x-a_xb_z\\a_xb_y-a_yb_x\end{bmatrix}$$结果是一个新的向量,方向垂直于$\mathbf{a}$$\mathbf{b}$所在的平面,遵循右手定则。-应用场景:主要用于计算法向量、扭矩、旋转等物理几何问题。例如,在计算机图形学中,用于计算多边形表面的法向量;在机器人学中,用于描述旋转运动(如角速度向量与位置向量得到线速度)[^3][^5]。###核心区别总结|特性|点积(内积)|向量积)||--------------|-----------------------------|------------------------------||**结果类型**|标量|向量(仅三维)||**维度要求**|同维向量|仅三维向量||**运算性质**|交换律:$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$|反交换律:$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-\mathbf{b}\times\mathbf{a}$||**几何意义**|投影长度、夹角余弦|法向量、平行四边形面积||**应用领域**|机器学习、信号处理、优化|计算机图形学、机器人学、物理|###典型应用示例####点积应用:余弦相似度```pythonimportnumpyasnpa=np.array([1,2,3])b=np.array([4,5,6])dot_product=np.dot(a,b)#点积计算cos_sim=dot_product/(np.linalg.norm(a)*np.linalg.norm(b))print(cos_sim)#输出余弦相似度```####应用:计算法向量```pythona=np.array([1,0,0])b=np.array([0,1,0])cross_product=np.cross(a,b)#计算print(cross_product)#输出:[0,0,1](z轴单位向量)```###扩展讨论:矩阵法与点积/的关系-**点积与矩阵法**:两个向量的点积等价于行向量与列向量矩阵法(即$\mathbf{a}^T\mathbf{b}$)。在批量计算时,矩阵法可视为多个点积的集合(如$A_{m\timesn}B_{n\timesp}$的结果矩阵中每个元素是$A$的行与$B$的列的点积)[^4]。-**矩阵表示**:可通过斜对称矩阵(Skew-SymmetricMatrix)实现:$$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=[\mathbf{a}]_{\times}\mathbf{b}=\begin{bmatrix}0&-a_z&a_y\\a_z&0&-a_x\\-a_y&a_x&0\end{bmatrix}\mathbf{b}$$这种表示在旋转矩阵推导中尤为重要(如罗德里格斯旋转公式)[^3][^5]。###注意事项1.**维度限制**:仅适用于三维空间。在更高维度中,需通过外积(ExteriorProduct)或楔积(WedgeProduct)扩展,但已不属于标准向量积范畴。2.**正定性**:点积与正定矩阵密切相关(如协方差矩阵的正定性由点积性质保证)[^1]。§§相关问题§§1.点积在计算机图形学中的具体应用有哪些?2.如何用点积判断两个向量的方向关系?3.在非欧几里得空间中点积是否适用?</think>## 矩阵点积 vs 矩阵:区别与应用场景 ### 一、核心概念与数学定义 #### 1. 矩阵点积(内积) - **定义**:对于两个同维向量 $\mathbf{a} = [a_1, a_2, \dots, a_n]$ $\mathbf{b} = [b_1, b_2, \dots, b_n]$,其点积为标量: $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$$ 矩阵形式:$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^T \mathbf{b}$($\mathbf{a}^T$ 表示转置)[^4] - **几何意义**: - 衡量两个向量的相似度与方向一致性 - 计算投影长度:$\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}$ - 夹角计算:$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$ #### 2. 矩阵向量积) - **定义**:仅适用于三维空间中的向量。对于 $\mathbf{a} = [a_x, a_y, a_z]$ $\mathbf{b} = [b_x, b_y, b_z]$: $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = (a_yb_z - a_zb_y)\mathbf{i} - (a_xb_z - a_zb_x)\mathbf{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\mathbf{k}$$ - **几何意义**: - 结果向量垂直于 $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$ 构成的平面 - 模长等于以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为边的平行四边形面积 - 方向遵循右手定则 ### 二、核心区别对比 | 特性 | 点积(内积) | 向量积) | |--------------|-----------------------------|------------------------------| | **结果类型** | 标量(Scalar) | 向量(Vector) | | **维度要求** | 同维向量 | 仅限三维空间 | | **交换律** | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$ | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ | | **正交性** | 点积为0 → 向量正交 | 为0 → 向量平行 | | **计算复杂度**| $O(n)$ | $O(1)$(固定三维) | ### 三、典型应用场景 #### 点积的核心应用 1. **相似度计算**(机器学习): ```python # 余弦相似度 = 点积 / (模长积) cos_sim = dot(a, b) / (norm(a) * norm(b)) ``` 2. **投影变换**(计算机图形学): - 物体光照计算:$I = \mathbf{L} \cdot \mathbf{N}$(光照向量与法向量点积) 3. **信号处理**: - 卷积运算本质是滑动点积 4. **优化问题**: - 最小二法:$\min \| \mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b} \|^2$ 的解涉及 $(\mathbf{A}^T\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^T\mathbf{b}$[^1] #### 的核心应用 1. **法向量计算**(3D图形学): ```python # 计算三角形法向量 v1 = vertex2 - vertex1 v2 = vertex3 - vertex1 normal = cross(v1, v2) ``` 2. **物理引擎**(刚体运动): - 扭矩计算:$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$[^3] - 角动量:$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ 3. **坐标系变换**(机器人学): - 旋转矩阵生成(罗德里格斯公式): $$ \mathbf{R} = \mathbf{I} + \sin\theta [\mathbf{k}]_\times + (1-\cos\theta)[\mathbf{k}]_\times^2 $$ 其中 $[\mathbf{k}]_\times$ 是的斜对称矩阵表示[^5] ### 四、计算示例对比 #### 点积计算(Python) ```python import numpy as np a = np.array([1, 2, 3]) b = np.array([4, 5, 6]) dot_product = np.dot(a, b) # 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32 ``` #### 计算(Python) ```python a = np.array([1, 0, 0]) # x轴方向 b = np.array([0, 1, 0]) # y轴方向 cross_product = np.cross(a, b) # 结果: [0, 0, 1] (z轴方向) ``` ### 五、关键注意事项 1. **维度兼容性**: - 点积要求两个向量维度相同 - 仅在三维空间有定义(七维有类似但不常用) 2. **运算本质**: - 点积是**度量相似性**的收缩运算 - 是**生成正交空间**的扩张运算 3. **混合使用场景**: - 标量三重积:$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ 计算平行六面体体积 - 向量三重积:$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$ ### 六、进阶应用方向 1. **点积在深度学习中的应用**: - 注意力机制:$\text{Attention}(Q,K,V) = \text{softmax}(\frac{QK^T}{\sqrt{d_k}})V$ - 全连接层:$\mathbf{y} = \mathbf{W}\mathbf{x} + \mathbf{b}$(本质是批量点积) 2. **在SLAM中的应用**: - 计算两个传感器数据的相对姿态 - 点云法向量估计(用于表面重建) > **关键洞察**:点积衡量"有多像",构建"新的方向"。在三维空间中,两者通过拉格朗日公式关联: > $$ \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 $$
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