「算法笔记」CDQ分治

CDQ 分治新手教程

CDQ 分治是一种分治,可以解决许多重要问题。它的优点有:常数小,代码复杂度较低,并且可以替代一些高难度数据结构(如树套树)。缺点是只能解决离线的问题。

CDQ 分治解决的基本问题是:给定一些修改和查询,离线求出查询的结果;它的基本思想是: Divide the Queries into [l,mid] and [mid+1,r]Use [l,mid] to Update [mid+1,r] D i v i d e   t h e   Q u e r i e s   i n t o   [ l , m i d ]   a n d   [ m i d + 1 , r ] ⇒ U s e   [ l , m i d ]   t o   U p d a t e   [ m i d + 1 , r ]

例题一:BZOJ 3262 陌上花开

经典的三维偏序问题。先按第一维排好序,然后再用 CDQ 分治将第二维排序,最后用树状树组维护第三维即可。时间复杂度 Θ(nlog2n) Θ ( n log 2 ⁡ n ) 。具体方法见代码。

CDQ 分治的套路:第一维排序,第二维 CDQ,其他维度使用数据结构。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
const int maxk = 200005;
int n, m, k, ans[maxn], bit[maxk];
struct query {
    int a, b, c, cnt, res;
    bool operator<(const query &x) const{
        return a == x.a ? b == x.b ? c < x.c : b < x.b : a < x.a;
    }
    bool operator==(const query &x) const{
        return a == x.a && b == x.b && c == x.c;
    }
} q[maxn];
bool comp(const query &x, const query &y) {
    return x.b == y.b ? x.c < y.c : x.b < y.b;
}
void add(int x, int y) {
    for (; x <= k; x += x & -x) {
        bit[x] += y;
    }
}
int sum(int x) {
    int y = 0;
    for (; x >= 1; x -= x & -x) {
        y += bit[x];
    }
    return y;
}
void cdq(int lb, int rb) {
    if (lb == rb) {
        return;
    }
    int md = (lb + rb) >> 1, p = lb;
    cdq(lb, md), cdq(md + 1, rb);
    sort(q + lb, q + md + 1, comp);
    sort(q + md + 1, q + rb + 1, comp);
    for (int i = md + 1; i <= rb; i++) {
        for (; p <= md && q[p].b <= q[i].b; p++) {
            add(q[p].c, q[p].cnt);
        }
        q[i].res += sum(q[i].c);
    }
    for (int i = lb; i < p; i++) {
        add(q[i].c, -q[i].cnt);
    }
} 
int main() {
    scanf("%d %d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d %d %d", &q[i].a, &q[i].b, &q[i].c);
    }
    sort(q + 1, q + n + 1);
    for (int i = 1, j = 1; i <= n; i = j + 1) {
        while (q[i] == q[j + 1])    j++;
        q[++m] = q[i], q[m].cnt = j - i + 1;
    }
    cdq(1, m);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        ans[q[i].res + q[i].cnt - 1] += q[i].cnt;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d\n", ans[i]);
    }
    return 0;
}

例题二:POJ 1195 二维树状树组模版

我们不用树状树组,用 CDQ 分治来做这题。首先,可以将每个询问拆成四个前缀询问。然后就转化为了一个三维 (time,x,y) ( t i m e , x , y ) 偏序问题。注意在合并时只拿左边的修改操作更新右边的查询操作。

两者的时间复杂度没有区别 (Θ(nlog2n)) ( Θ ( n log 2 ⁡ n ) ) ,但是二维树状树组的空间复杂度为 Θ(n2) Θ ( n 2 ) ,而 CDQ 分治为 Θ(n) Θ ( n )

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 500005;
const int maxm = 500005;
const int maxq = 2000005;
int n, m, tot, cur, num, ans[maxn], bit[maxm];
inline int abs(int x) {
    return x < 0 ? -x : x;
}
struct query {
    int t, i, a, b, c;
    bool operator<(const query &x) {
        return a == x.a ? abs(t) < abs(x.t) : a < x.a;
    }
} q[maxq];
bool comp(query x, query y) {
    return x.b < y.b;
}
void addqry(int t, int i, int a, int b, int c) {
    q[++tot].t = t, q[tot].i = i;
    q[tot].a = a, q[tot].b = b, q[tot].c = c;
}
void add(int x, int y) {
    for (; x <= m; x += x & -x) {
        bit[x] += y;
    }
}
int sum(int x) {
    int y = 0;
    for (; x >= 1; x -= x & -x) {
        y += bit[x];
    }
    return y;
}
void cdq(int l, int r) {
    if (l >= r) {
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    cdq(l, mid), cdq(mid + 1, r);
    sort(q + l, q + mid + 1, comp);
    sort(q + mid + 1, q + r + 1, comp);
    int ptr = l;
    for (int i = mid + 1; i <= r; i++) {
        while (ptr <= mid && q[ptr].b <= q[i].b) {
            if (q[ptr].t == 0) {
                add(q[ptr].c, q[ptr].i);
            }
            ptr++;
        }
        if (q[i].t) {
            ans[q[i].i] += q[i].t * sum(q[i].c);
        }
    }
    for (int i = l; i < ptr; i++) {
        if (q[i].t == 0) {
            add(q[i].c, -q[i].i);
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%*d %d", &n);
    m = 1025;
    for (int opt, a, b, c, d; ; ) {
        scanf("%d", &opt);
        if (opt == 1) {
            scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
            addqry(0, c, ++cur, a + 1, b + 1);
        } else if (opt == 2) {
            scanf("%d %d %d %d", &a, &b, &c, &d), ++num;
            addqry(1, num, cur, a, b);
            addqry(-1, num, cur, a, d + 1);
            addqry(-1, num, cur, c + 1, b);
            addqry(1, num, cur, c + 1, d + 1);
        } else {
            break;
        }
    }
    cdq(1, tot);
    for (int i = 1; i <= num; i++) {
        printf("%d\n", ans[i]);
    }
    return 0;
}

例题三:Luogu 3157 动态逆序对

正着做似乎很难,我们要倒退。

即:每个删除操作对应一个添加操作,添加一个 (time,pos,value) ( t i m e , p o s , v a l u e ) 的三元组进去。每一次,我们要计算有几个 (time,pos,value) ( t i m e ′ , p o s ′ , v a l u e ′ ) 满足 timetime t i m e ′ ≤ t i m e && (( pospos p o s ′ ≤ p o s && valuevalue v a l u e ′ ≥ v a l u e ) || pospos p o s ′ ≥ p o s && valuevalue v a l u e ′ ≤ v a l u e )。CDQ 分治即可。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
bool vis[maxn];
int n, m, tot, pos[maxn], pnt[maxn], bit[maxn];
long long ans[maxn];
struct query {
    int i, a, b;
} q[maxn];
bool comp1(query x, query y) {
    return x.a < y.a;
}
bool comp2(query x, query y) {
    return x.a > y.a;
}
void add(int x, int y) {
    for (; x <= n; x += x & -x) {
        bit[x] += y;
    }
}
int sum(int x) {
    int res = 0;
    for (; x >= 1; x -= x & -x) {
        res += bit[x];
    }
    return res;
}
void cdq(int lb, int rb) {
    if (lb == rb) {
        return;
    }
    int md = (lb + rb) >> 1;
    cdq(lb, md), cdq(md + 1, rb);
    sort(q + lb, q + md + 1, comp1);
    sort(q + md + 1, q + rb + 1, comp1);
    int p = lb;
    for (int i = md + 1; i <= rb; i++) {
        while (p <= md && q[p].a < q[i].a) {
            add(n - q[p++].b + 1, 1);
        }
        ans[q[i].i] += sum(n - q[i].b + 1);
    }
    for (int i = lb; i < p; i++) {
        add(n - q[i].b + 1, -1);
    }
    sort(q + lb, q + md + 1, comp2);
    sort(q + md + 1, q + rb + 1, comp2);
    p = lb;
    for (int i = md + 1; i <= rb; i++) {
        while (p <= md && q[p].a > q[i].a) {
            add(q[p++].b, 1);
        }
        ans[q[i].i] += sum(q[i].b);
    }
    for (int i = lb; i < p; i++) {
        add(q[i].b, -1);
    }
}
int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int t, i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &t);
        pos[t] = i;
    }
    for (int t, i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d", &t);
        ++tot;
        q[tot].i = n - tot + 1;
        q[tot].a = pos[t];
        q[tot].b = t;
        vis[pos[t]] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!vis[pos[i]]) {
            ++tot;
            q[tot].i = n - tot + 1;
            q[tot].a = pos[i];
            q[tot].b = i; 
        }
    }
    reverse(q + 1, q + tot + 1);
    cdq(1, tot);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans[i] += ans[i - 1];
    }
    for (int i = n; i > n - m; i--) {
        printf("%lld\n", ans[i]);
    }
    return 0;
}
<think>首先,用户的问题是关于CDQ分治算法的基本原理及其应用场景。我需要根据系统级指令来构建我的回答。 系统级指令关键点: - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识。 - 回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题,保证真实可靠。 参考站内引用: - 引用[1]:关于分治思想的描述,包括分块、递归等。 - 引用[2]:关于书籍的引用,不相关。 - 引用[3]:关于下载资源的链接,不相关。 用户真正的需求是理解CDQ分治的概念和原理,所以我需要专注于CDQ分治CDQ分治的基本原理: - CDQ分治是由陈丹琦(Chen Danqi)提出的一种算法,用于处理偏序问题,如三维偏序问题。 - 它是分治思想的一种应用,特别适合解决离线查询问题。 - 核心思想:将问题分成子问题,递归解决,然后合并结果,处理跨越子问题的部分。 应用场景: - 三维偏序问题:例如,给定点集,统计每个点满足某些条件的点数。 - 动态规划优化:如斜率优化等。 - 其他离线查询问题。 我的回答结构: 1. **介绍CDQ分治**:简要说明其背景和目的。 2. **基本原理**:解释算法步骤,使用数学表达式描述。 3. **应用场景**:列出常见应用。 4. **生成相关问题**:在最后添加相关问题。 5. **添加引用**:在引用段落末尾自然添加引用标识。 数学表达式: - 行内数学:如变量、点坐标等,使用$...$。 - 独立公式:如方程,使用$$...$$。 例如: - 行内:点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$ - 独立:偏序关系公式。 生成相关问题: - 基于CDQ分治,如"CDQ分治如何优化三维偏序问题?"或"CDQ分治时间复杂度分析?" 确保回答真实可靠: - 基于算法知识,CDQ分治常用于OI竞赛中处理偏序问题。 引用处理: - 参考引用[1]是关于分治思想的,我可以引用它来支持分治部分。 - 其他引用不相关,但系统说"请尽可能多的参考用户上一次的问题和你的回答",但用户没有上一次问题,所以基于当前引用。 最终回答大纲: - 开头:介绍CDQ分治。 - 原理部分:分步骤解释,使用LaTeX。 - 应用场景:列举例子。 - 相关问题:在最后添加。 - 结尾:自然结束。</think>### CDQ分治算法的基本原理及其应用场景 CDQ分治(Chen Danqi Divide and Conquer)是由中国计算机科学家陈丹琦提出的一种分治算法变体,主要用于处理离线查询问题,特别是多维偏序问题(如三维偏序)。它在算法竞赛和数据处理中应用广泛,能高效解决一些复杂问题。下面我将逐步解释其基本原理和应用场景,确保内容清晰可靠。 #### 1. CDQ分治的基本原理 CDQ分治基于经典分治思想,但针对偏序问题进行了优化。核心思路是将问题递归分解为子问题,处理子问题内部和子问题之间的影响,最后合并结果。算法主要分为三个步骤:分、治、合。以下是详细解释: - **分(Divide)**:将输入数据(如点集)按某一维度(通常是时间或索引)分成两个大致相等的子集,记为左子集$L$和右子集$R$。例如,给定点集$P = \{P_1, P_2, \dots, P_n\}$,其中每个点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$表示三维坐标,我们按第一维$a_i$排序并分割: $$ \text{mid} = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor $$ 这样得到$L = \{P_i \mid i \leq \text{mid}\}$和$R = \{P_i \mid i > \text{mid}\}$。递归地对$L$和$R$应用相同过程。 - **治(Conquer)**:递归处理左子集$L$和右子集$R$,解决子问题内部的偏序关系。例如,在三维偏序问题中,目标是统计每个点$P_i$满足$a_j \leq a_i, b_j \leq b_i, c_j \leq c_i$的点数$j$($j \neq i$)。递归调用确保子集内部的问题被解决。 - **合(Merge)**:合并子问题结果,并处理跨越子集$L$和$R$的影响。这是CDQ分治的关键: - 使用辅助数据结构(如树状数组或线段树)高效处理跨子集贡献。 - 例如,在三维偏序中,合并时需统计$L$中的点对$R$中点的贡献。具体做法: 1. 对$L$和$R$按第二维$b_i$排序。 2. 遍历$R$中的每个点$P_j$,同时维护一个树状数组,用于记录第三维$c_i$的累积值。 3. 对于$P_j$,查询树状数组中满足$c_k \leq c_j$的点数($k$来自$L$),并累加到结果。 这确保了跨子集贡献在$O(n \log n)$时间内完成。 整个算法时间复杂度为$O(n \log^2 n)$,其中$n$是数据规模。递归公式可表示为: $$ T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n \log n) $$ 其中$O(n \log n)$来自合并步骤的排序和树状数组操作。CDQ分治通过“分而治之”高效处理了偏序关系[^1]。 #### 2. CDQ分治的应用场景 CDQ分治特别适合离线查询问题,其中数据点固定,查询可批量处理。常见应用包括: - **三维偏序问题**:如统计逆序对或点对关系。例如,在竞赛中,给定点集统计每个点“支配”的点数(即所有维度都小于等于该点的点)。CDQ分治能高效解决,时间复杂度优于暴力$O(n^2)$。 - **动态规划优化**:用于优化序列问题,如最长上升子序列(LIS)或斜率优化问题。通过分治处理状态转移,减少计算量。 - **离线查询处理**:在数据库或算法中,处理批量查询,如区间统计或范围查询。CDQ分治将查询排序后递归处理,避免实时开销。 - **其他领域**:在计算几何(如最近点对问题)和机器学习数据预处理中也有应用,但需结合具体算法调整。 CDQ分治的优势在于其通用性和效率,但要求问题具有“可分治性”,即子问题独立且合并步骤可高效实现。实际应用中,常结合树状数组等数据结构提升性能。 #### 相关问题 1. CDQ分治如何处理更高维度的偏序问题(如四维偏序)? 2. CDQ分治与普通分治算法的主要区别是什么? 3. CDQ分治在动态规划优化中的具体实现案例? [^1]: 分治思想的核心是递归分解问题,然后合并结果,这在CDQ分治中得到充分体现,如分割点集并递归处理子问题。 [^2]: 算法理论常参考经典书籍,但CDQ分治更常见于竞赛和算法论文。
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