凸优化

最新推荐文章于 2025-06-01 14:26:39 发布

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#机器学习 #凸优化

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凸集

凸集是对于集合内的每一对点，连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。

凸函数

仿射集

仿射集是指欧氏空间 $R^{n}$ 中具有以下性质的点集 $M$ ：对任意 $x,y\in M$ ，以及任意实数 $\lambda$ ，总有 $(1-\lambda )x+\lambda y\in M$ 。

仿射包

仿射维数

内点和相对内点

凸包

锥

凸锥

$n$ 阶半正定方阵的集合为凸锥

锥包

超平面

半空间

欧式球

椭球

范数

范数球

范数锥

多面体

多面体是一个凸集

保持凸性的运算

集合交运算
仿射变换

伸缩、平移、投影

若 $S$ 为凸集，则 $f(S)$ 为凸集；若 $f(S)$ 为凸集，则 $S$ 为凸集

两个凸集的和为凸集

两个凸集的笛卡尔积（直积）为凸集

两个集合的部分和为凸集

透视变换

若某集合的透视变换是凸集，这个集合也是凸集。

投射变换（线性分式变换）

投射函数

分割超平面

支持超平面

凸集边界上任意一点，均存在支持超平面

若一个闭的非中空集合，在边界上的任意一点存在支持超平面，则该集合为凸集

梯度

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在平面区域 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则对于每一个点 $P(x,y)$ 都可定出一个向量 $\left \{ \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right \}=f_{x}(x,y)\bar{i}+f_{y}(x,y)\bar{j}$ ，该函数就称为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 的梯度，记作 $gradf(x,y)$ 或 $\bigtriangledown f(x,y)$ 。

上境图

一阶可微

二阶可微

Jensen不等式

$f(E(x))\leqslant E(f(x))$

Fenchel不等式

保持函数凸性的算子

凸函数的非负加权和
凸函数与仿射函数的复合
凸函数的逐点最大值，逐点上确界

共轭函数

凸优化

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