力扣:爬楼梯(六种方法

这篇博客讨论了如何解决力扣上的爬楼梯问题,提供了包括暴力递归、矩阵快速幂在内的多种解法,并提到了斐波那契数列在解题中的应用,以及对于数值计算可能存在的误差问题。

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假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

注意:给定 n 是一个正整数。

官方:https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/

1. 暴力法
    一开始暴力法我也没想到,其实还是比较容易想到的,递归

//这样的话大概率超时,所以可以用记忆化

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
      return  climb_Stairs(0, n);
    }
    public int climb_Stairs(int i, int n) {
        if (i > n) {
            return 0;
        }
        if (i == n) {
            return 1;
        }
        return climb_Stairs(i + 1, n) + climb_Stairs(i + 2, n);
    }
}

作者:LeetCode
链接:https://leetcode-cn.com/problems/two-sum/solution/pa-lou-ti-by-leetcode/
来源:力扣(LeetCode)
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

 

public class Solution {
<think>好的,我现在需要帮助用户解决LeetCode爬楼梯问题的Java实现。首先,用户明确要求用Java,所以我要确保提供的代码示例是Java的。根据用户提供的引用,有几个不同的解决方案,包括递归、动态规划和迭代法。 首先,我要回忆一下爬楼梯问题的基本情况。题目是每次可以爬1或2个台阶,问到达n阶有多少种方法。这其实是一个斐波那契数列问题,因为到达第n阶的方法数等于到达n-1阶和n-2阶方法数的和。 用户提供的引用中有几个代码示例。引用2和3提到了递归方法,但指出递归效率低,因为会有大量重复计算,比如climbStairs(n)会重复计算climbStairs(n-1)和climbStairs(n-2)。引用4和5则给出了动态规划和迭代的方法,这两种方法的时间复杂度都是O(n),空间复杂度较低。 接下来,我需要分析各个方法的优缺点。递归虽然简单,但时间复杂度是指数级的,不适合大n。动态规划通过数组存储中间结果,空间复杂度O(n),但可以优化到O(1)使用滚动变量,如引用4中的迭代法。引用5中的动态规划使用数组,而引用4的迭代法只用三个变量,节省空间。 用户可能希望得到一个高效且易懂的解法,所以应该推荐动态规划或迭代法。同时,需要解释清楚思路,比如状态转移方程f(n) = f(n-1) + f(n-2),以及如何初始化。 还要注意边界条件,比如n=1或n=2的情况,避免数组越界。例如,在引用5中,数组初始化是f[0]=1和f[1]=1,这样循环从i=2开始计算到n。而引用4中处理n=1时直接返回1,循环从i=2开始。 另外,可能需要提到进一步优化的方法,比如矩阵快速幂或公式法,将时间复杂度降到O(log n)或O(1),但这些可能超出用户当前需求,可以作为扩展知识。 最后,确保代码示例正确无误,并且符合Java语法。比如引用4中的迭代法使用了三个变量first、second、third,并在循环中更新它们的值,最终返回third。引用5的动态规划版本则使用数组存储每个阶梯的方法数。 总结步骤: 1. 介绍问题本质是斐波那契数列。 2. 分析递归方法的缺点。 3. 提供动态规划解法,解释空间优化。 4. 给出迭代法的代码,并解释变量滚动更新。 5. 讨论时间复杂度和空间复杂度。 6. 可能提到其他优化方法,但以主要解法为主。 需要确保回答结构清晰,分步骤说明,代码正确,并且引用正确的参考文献,比如引用4和5的动态规划和迭代法。同时,回答用户的问题时,要覆盖不同的实现方法,让用户可以根据需要选择。</think>### LeetCode 70. 爬楼梯 Java 解法详解 #### 问题分析 题目要求计算爬到第$n$阶楼梯的不同方法数,每次可以爬1或2个台阶。**这本质是斐波那契数列问题**,因为: - 到达第$n$阶的方法数 = 到达第$(n-1)$阶的方法数(最后一步爬1阶) + 到达第$(n-2)$阶的方法数(最后一步爬2阶) #### 方法一:递归(不推荐,仅用于理解) 递归方法直接根据定义实现,但存在重复计算,时间复杂度为$O(2^n)$,空间复杂度$O(n)$(栈深度): ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2); } } ``` **缺点**:输入较大时(如$n=45$)会超时[^2]。 --- #### 方法二:动态规划(推荐) 通过数组存储中间结果,时间复杂度$O(n)$,空间复杂度$O(n)$: ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { if (n <= 1) return 1; int[] dp = new int[n + 1]; dp[0] = 1; dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; } return dp[n]; } } ``` **优化**:用滚动变量代替数组,空间复杂度降为$O(1)$[^4]: ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { if (n == 1) return 1; int first = 1, second = 1, third = 0; for (int i = 2; i <= n; i++) { third = first + second; first = second; second = third; } return third; } } ``` --- #### 复杂度对比 | 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | |------------|------------|------------| | 递归 | $O(2^n)$ | $O(n)$ | | 动态规划 | $O(n)$ | $O(n)$ | | 滚动变量 | $O(n)$ | $O(1)$ | --- #### 进阶方法(扩展知识) 1. **矩阵快速幂**:时间复杂度$O(\log n)$,利用矩阵乘法性质加速计算。 2. **斐波那契公式**:直接通过通项公式计算,时间复杂度$O(1)$,但涉及浮点数精度问题。 ---
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