数值分析Python实现系列—— 一、拉格朗日插值法

本文深入探讨了拉格朗日插值法的基本原理,通过Python代码实现了该算法,并展示了如何使用matplotlib进行结果可视化。拉格朗日插值法是一种通过已知离散点构造多项式的方法,用于预测或估算未知点的值。

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一、拉格朗日插值法

1.原理:

                   拉格朗日插值法:给定n个观测值(xk,yk)找到一组(n个)基函数 lk(x)  , 使得L(x) 为这组基函数的线性组合,

                   并且使得L(x)是经过这些点的多项式

        我们发现其中的一种找发是  :  满足这样线性组合的系数 是 观测值yk (n个)

        满足这样线性组合的基函数形如:

2.Python实现:       

                   思路:

                   1.观察发现基函数的分母与x无关,是观测值x的组合,可以先计算出来,留着以后用

                   2.每一个预测值先计算分子,再把每一个分子乘以每一个预测值,除以每一个分母,最终加和

                   3.使用matplotlib里的plot展示结果,蓝色点为观测值,红色点为预测值

import matplotlib.pyplot as plt
from functools import reduce
# % matplotlib inline (jupyter notebook用户建议打开)


def lagrange():
    points = eval(input("输入一个包含2个以上坐标的列表:"))
    pre = eval(input("输入预测值列表:"))
    length = len(points)
    result = []
    # l_k_den用于存储每一个基函数的分母数值(在计算不同预测值时可以共用)
    l_k_den = [reduce(lambda x, y: x * y, [num[0] - i[0] for i in points if i[0] != num[0]]) for num in points]
    for number in pre:
        # l_k_num用于存储每一个基函数的分子数值(每一个预测值都不一样)
        l_k_num = [reduce(lambda x, y: x * y, [number - i[0] for i in points if i[0] != one[0]]) for one in points]
        result.append(sum([l_k_num[i] * points[i][1] / l_k_den[i] for i in range(length)]))
    plt.plot([i[0]for i in points], [i[1] for i in points], 'b*')
    plt.plot(pre, result, 'r*')
    plt.show() # pycharm用户建议使用


lagrange()

3.效果展示:

        Pycharm:

        输入:

        

        输出:

        

        jupyter效果:

var code = "b6d477d3-e5d8-477a-898b-39002f592231"

      

多项式插值种常用的插值方法,在数值计算中经常被使用。它的原理是通过已知数据点的函数值来构造个多项式函数,将其作为近似函数来拟合数据。在Python中,实现多项式插值可以使用拉格朗日插值和牛顿插值两种方法。 对于拉格朗日插值,可以通过构造拉格朗日基函数和插值多项式来实现。首先,根据给定的数据点,求解每个拉格朗日基函数的系数,然后将这些基函数与对应的函数值相乘并求和,得到最终的插值多项式。在Python中,可以使用numpy库的polyfit函数来实现拉格朗日插值的计算,并使用matplotlib库进行曲线图的绘制。 牛顿插值是另种常用的多项式插值方法。它基于差商的概念,通过递推计算差商表来得到插值多项式。在Python中,可以使用numpy库的polyfit函数来实现牛顿插值的计算,并使用matplotlib库进行曲线图的绘制。 通过实现这两种插值方法,并在给定的数据上进行插值计算,可以得到插值多项式的曲线图。这样可以直观地观察到插值多项式与原始数据之间的拟合效果,并验证Runge现象。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span> #### 引用[.reference_title] - *1* *3* [数值计算——Python 实现拉格朗日插值以及牛顿插值](https://blog.youkuaiyun.com/weixin_47067425/article/details/127182964)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"] - *2* [python实现各种插值法(数值分析)](https://download.youkuaiyun.com/download/weixin_38685832/12861101)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"] [ .reference_list ]
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