数值分析Python实现系列—— 二、逐次超松弛迭代法(SOR)

最新推荐文章于 2024-05-02 01:13:24 发布

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#数值分析 #Python #迭代法 #线性方程

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本文深入探讨了超松弛迭代法(SOR)的原理与应用，通过数学公式详细解释了SOR法如何通过调整松弛因子ω来加速收敛过程。并提供了Python实现示例，展示了不同ω值对迭代次数的影响。

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二、超松弛迭代法(SOR)

1.原理:

回顾:

在一般情况下 : 收敛过慢甚至不收敛的 $B$ 与 $f$ ,经过对系数矩阵 $A$ 分裂成 $A = M - N$ 的形式, 使得迭代公式变为: $x^{k+1}=(I-M^{-1})Ax^{k}+M^{-1}f$

***雅克比迭代法***选取 : 现将 $A$ 如下分解 $A = D - L - U$ , $D$ 为对角阵, $L$ 为下三角阵, $U$ 为上三角阵,取 $\equiv D$ ,取 $\equiv L+U$ ,

在这一章中我们选取下三角矩阵 $M=1ω(D−ωL),ω>0M=\frac{1}{\omega}(D-\omega L),\omega>0$ ,其中 $ω\omega$ 为松弛因子,我们可以发现当 $ω\omega$ 为1时, $M = D - L$ ,正是***高思-赛德尔***迭代法,下面推导迭代公式:
$\textbf{x}_{k+1}=I-M^{-1}A\textbf{x}_{k}+M^{-1}b$

$\textbf{x}_{k+1}=I-\omega(D-\omega L)^{-1}A\textbf{x}_{k}+\omega (D-\omega L)^{-1}b$

$\textbf{x}_{k+1}=(D-\omega L)^{-1}((1-\omega)D+\omega U)\textbf{x}_{k}+\omega (D-\omega L)^{-1}b$

推导完毕,我们较为常用的是下式:
$(D-\omega L)\textbf{x}_{k+1}=((1-\omega)D+\omega U)\textbf{x}_{k}+\omega b$
以及:
$\left\{ \begin{matrix} \textbf{x}^{(0)} &=& (x_1^{(0)},\textbf{...},x_n^{(0)})^{T}, \\ x_i^{(k+1)} &=& x_i^{(k+)}+ \Delta x_{i} \\ \Delta x_{i} &=& \omega \frac{b_{i}- \sum\limits_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}}{a_{ii}} \\ i &=&1,2,...,n,k=0,1,...,\\ \omega为松弛因子 \end{matrix} \right.$

当 $ω>1\omega>1$ 时为超松弛迭代,当 $ω<1\omega<1$ 时为低松弛迭代

迭代终止条件: $max1≤i≤n∣Δxi∣=max1≤i≤n∣xi(k+1)−xi(k)∣<ε\mathop{max}\limits_{1\le i\le n}|\Delta x_{i}| = \mathop{max}\limits_{1\le i\le n}|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}|<\varepsilon$ ,下面我们试试用Python实现这一功能.

2.实现:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
MAX = 110                                         # 遍历最大次数
A = np.array([[-4, 1, 1, 1], [1, -4, 1, 1], [1, 1, -4, 1], [1, 1, 1, -4]])
b = np.array([[1], [1], [1], [1]])                # 注意这里取列向量
omega_list = [1 + 0.005 * i for i in range(100)]  # 取到不同的omega值,观察趋势
length = len(A)
count = []                                        # 记录遍历的次数
for omega in omega_list:                          # 遍历每一个omega值
    times = 0
    x_0 = np.zeros((length, 1))
    x_hold = x_0 + np.ones((length, 1))
    while (np.linalg.norm(x_hold - x_0, ord=2) >= 10 ** (-5)) and (times <= MAX):
        # 遍历停止条件以k+1次与k次迭代的向量差的二范数以及遍历最大次数为标准
        x_hold = x_0.copy()                      # 这里不要用赋值,要用copy
        x_new = x_0.copy()
        for i in range(length):
            # 根据迭代公式迭代
            x_new[i][0] = x_0[i][0] + omega * (b[i][0] - sum([A[i][j] * x_new[j][0] for j in range(i)]) - sum(
                [A[i][j] * x_0[j][0] for j in range(i, length)])) / A[i][i]
            x_0 = x_new.copy()
        times += 1
    count.append(times)
plt.plot(omega_list, count)    # 观察omega与迭代次数的关系
plt.show()