筛法例题

最新推荐文章于 2024-06-28 22:25:27 发布

Tao_oc

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分类专栏：数论

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博客内容涉及多种素数筛法的应用，包括求最大素因子的位置、计算指数异或和以及寻找最小质因子之和的问题。通过线性筛、欧拉筛等方法，实现了高效的算法解决方案，对于数论和算法竞赛题目具有实践指导意义。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

https://vjudge.net/problem/HDU-2136

题意:

给定一个n,求n的最大素因子是第几个素数

直接用素因子筛

ac:

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define MAXN 1000000+5
int a[MAXN];

int main()
{
    int ans=0;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if(!a[i])
        {
            ans++;
            for(int j=i;j<MAXN;j+=i)
                a[j]=ans;
        }
    }
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)//找该数的最大素数因数的位置
    {
        printf("%d\n",a[n]);
    }
    return 0;
}

wnm的数学题

解析:

线筛出100万的f[i]

ac:

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define MAXN 1000005
#define ll long long
using namespace std;
ll f[MAXN]={0};
 
void init()
{
    for(int i=0;i<=MAXN;i++)
        f[i]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
        for(int j=i;j<=MAXN;j+=i)
            f[j]*=i,f[j]=f[j]%mod;
}
 
int main()
{
    init();
    int t,l,r;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        ll sum=1;
        for(int i=l;i<=r;i++)
        {
            sum=sum*f[i];
            sum=sum%mod;
        }
        printf("%lld\n",sum);
    }
    return 0;
}

华华给月月出题

题意:

求sum(1~n)的i^n的异或和

解析:

直接暴力算法复杂度为O(NlogN),会超时

f(x)是一个完全积性函数,可以用线筛

用欧拉筛处理出1~n的pow(i,n),时间复杂度为n,再异或,总时为O(N)

例如:我们要求6^n,呢么已经先求出2^n,3^n,6^n=(2^n)*(3^n);

6^3=(2*3)^3=2^3*3^3 => sum[2*3]^3=sum[2]^3+sum[3]^3

ac:

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define MAXN 13000005
#define ll long long
using namespace std;
bool isprime[MAXN]={0};
int prime[MAXN]={0};
ll sum[MAXN]={0};
int tot;
 
ll quickpow(ll x,ll y)
{
    ll res = 1;
    while(y){
        if(y & 1) res = res*x%mod;
        y >>= 1;
        x = x*x%mod;
    }
    return res%mod;
}
 
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    tot=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(isprime[i]==0)
        {
            prime[++tot]=i;
            sum[i]=quickpow(i,n);
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            isprime[i*prime[j]]=1;
            sum[i*prime[j]]=sum[i]*sum[prime[j]]%mod;
            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }
    }
    ll ans=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        ans=ans^sum[i];
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

2019 蓝桥杯省赛 B 组模拟赛（一）

解析:

简单的素数筛+二分查找

ac:

#include<bits/stdc++.h>
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false);
#define pb push_back
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define per(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define MAXN 100005
using namespace std;
 
int a[MAXN];
int isprime[MAXN*10];
int prime[MAXN*10];
 
int main()
{
    IOS
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    for(int i=0;i<=1000000;i++)
        isprime[i]=1;
    isprime[1]=0;
    isprime[2]=1;
    int cnt=0;
    for(int i=2;i<=1000000;i++)
    {
        if(isprime[i]==1)
        {
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=2;j*i<=1000000;j++)
                isprime[i*j]=0;
        }
    }
    sort(prime,prime+cnt);
    int t,n;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        int c=upper_bound(prime,prime+cnt,n)-prime;
        for(int i=c-1;i>=0;i--)
        {
            if(isprime[n-prime[i]])
            {
                printf("%d %d\n",n-prime[i],prime[i]);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/1221/A

题意:

求1~n的最小质因子之和

解析：

用欧拉筛选处理1~3000w的质数，同时将vis标记最小质因子

ac：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAXN 30000001
using namespace std;
int prime[5000000];//保存素数
int vis[MAXN];//初始化
int cnt;
  
void getprime(int n)
{
    n=n+1;
    cnt=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        if(vis[i]==0)
            prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=prime[j];
            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }
    }
}
  
int main()
{
    int n;
    getprime(30000000);
    scanf("%d",&n);
    ll ans=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i]==0)
            vis[i]=i;
        ans=ans+vis[i];
    }
    printf("%lld\n",ans);
}