【蓝桥杯】观光铁路（SPFA算法运用于非最短路问题）

问题描述

跳蚤国正在大力发展旅游业，每个城市都被打造成了旅游景点。
　　许多跳蚤想去其他城市旅游，但是由于跳得比较慢，它们的愿望难以实现。这时，小C听说有一种叫做火车的交通工具，在铁路上跑得很快，便抓住了商机，创立了一家铁路公司，向跳蚤国王请示在每两个城市之间都修建铁路。
　　然而，由于小C不会扳道岔，火车到一个城市以后只能保证不原路返回，而会随机等概率地驶向与这个城市有铁路连接的另外一个城市。
　　跳蚤国王向广大居民征求意见，结果跳蚤们不太满意，因为这样修建铁路以后有可能只游览了3个城市（含出发的城市）以后就回来了，它们希望能多游览几个城市。于是跳蚤国王要求小C提供一个方案，使得每只跳蚤坐上火车后能多游览几个城市才回来。 小C提供了一种方案给跳蚤国王。跳蚤国王想知道这个方案中每个城市的居民旅游的期望时间（设火车经过每段铁路的时间都为1），请你来帮跳蚤国王。
输入格式
　　输入的第一行包含两个正整数n、m，其中n表示城市的数量，m表示方案中的铁路条数。
　　接下来m行，每行包含两个正整数u、v，表示方案中城市u和城市v之间有一条铁路。
　　保证方案中无重边无自环，每两个城市之间都能经过铁路直接或间接到达，且火车由任意一条铁路到任意一个城市以后一定有路可走。
输出格式
　　输出n行，第i行包含一个实数$t_{B_i}$，表示方案B中城市i的居民旅游的期望时间。你应当输出足够多的小数位数，以保证输出的值和真实值之间的绝对或相对误差不超过1e-9。
样例输入
4 5
1 2
2 3
3 4
4 1
1 3
样例输出
3.333333333333
5.000000000000
3.333333333333
5.000000000000
数据规模和约定
　　对于10%的测试点，n <= 10；
　　对于20%的测试点，n <= 12；
　　对于50%的测试点，n <= 16；
　　对于70%的测试点，n <= 19；
　　对于100%的测试点，4 <= k <= n <= 21，1 <= u, v <= n。数据有梯度。

解决过程

20241020更新

用一个更直观的说法来分析这个问题
让我们先考虑某一个节点的情况

假设只考虑出发点s，和其他中间节点，会得到如上的关系图，其中$a$表示回到s的概率
我们可以利用马尔可夫链来解释整个流程
设置某个状态下各节点待出发的s城居民为$\left[\begin{array}{c}s\\ m\end{array}\right]$，初始状态$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$。
则可以用状态转移方程来描述经过一个单位时间后的状态$\left[\begin{array}{c}{s}^{\prime }\\ m^{\prime }\end{array}\right]$：
$$\left[\begin{array}{c}{s}^{\prime }\\ m^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1-a\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}s\\ m\end{array}\right]$$
在状态转移矩阵中第一行参数全为0，是因为题目说回到s的人就不会再出发。
第二行第一列的参数为1，是因为此处只有一个节点，出发到此节点的概率是100%。如果有多个节点，根据题意应该是平分概率。
那么经过绝对够长的一个时间以后，最终状态$\left[\begin{array}{c}{s}^{\ast }\\ m^{\ast }\end{array}\right]$为
$$\left[\begin{array}{c}{s}^{\ast }\\ m^{\ast }\end{array}\right]=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1-a\end{array}\right]}^n\left[\begin{array}{c}s\\ m\end{array}\right]=\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ (1-a{)}^{n-1}& (1-a{)}^n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}s\\ m\end{array}\right]$$
当$a>0$时，$\left[\begin{array}{c}{s}^{\ast }\\ m^{\ast }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$
也就是说，当$a>0$时乘客一定会回到原点，即使时间是$\infty$，即使有概率上的自环。

之前的原文

仔细一看，这根本就不是最短路问题嘛。
让我们简化一下问题
只求 $i=1$的 情形。

问题变成，对于城市$1$来说，出发回到原点的期望时间是多少？

首先，要明确几件事情

引理一

对于出发点城市$1$来说，出发到每个子节点的概率之和（出度）与父节点到本节点的概率之和（入度）相等，且为1。
这里的出度和入度，都是借用网络流概念。
很显然，城市1即是起点也是终点。

也就是说，乘客一定会回到原点，即使时间是$\infty$

引理二 加权平均

假设现在仅有n个城市与m相连，从S市到达它们分别走了$x_1,x_2\dots \dots x_n$的时间，而现在，从它们出发，有$p_1,p_2\dots \dots p_n$的概率会到达中间节点m。
那么问题就是，这些城市到达m市的平均时间是多少？
对于概率$p_1,p_2\dots \dots p_n$与相对应的值$x_1,x_2\dots \dots x_n$
它们的平均期望应该是
$${\bar{x}}_m=\frac{{\sum }_{i=1}^n{p}_i\ast (x_i+1)}{{\sum }_{i=1}^n{p}_i}$$
除了平均时间以外，我们还想知道到达m市的概率，这个概率是$$p=\sum _{i=1}^n{p}_i$$
现在，如果这时发现还有一个城市$x_{\theta }$与m相连，此时，在数学上，我们可以快速得出新的期望和概率
$${\bar{x}}_m^{\prime }=\frac{{\bar{x}}_m\ast p+(x_{\theta }+1)\ast p_{\theta }}{p+p_{\theta }},p^{\prime }=p+p_{\theta }$$
我们可以发现，对于每个节点，都可以进行类似的操作。如果把$x_1,x_2\dots \dots x_n$看作是m的父节点，那么这个过程其实与最短路是很像的，区别在于最短路是在所有父节点中选择最短的节点，而本题是在所有父节点中取概率加权平均。

而这道题中有这么一个性质

性质：子节点不会影响父节点，父节点只会影响子节点。

这个性质可能看起来不怎么样。
让我们回想一下SPFA算法对Bellman - Ford算法的最大优化在哪？
对某个节点松弛操作后，只有这个节点的子节点受到了影响。
对了
这就是SPFA的核心思想

于是我们可以得出求解一个城市的单源算法了
以1号城市为例

步骤

1. 建立两个数组，概率$p[i]$，时间$x[i]$，$i$为城市节点。显然$p[1]=100\%=1,x[1]=0$
2. 建立一个待处理队列，城市1入队，指针$i$指向城市1.
3. 除了城市1以外，如果$p[i]\ast x[i]<1E^{-9}$ (题目要求的精度) 那么跳到步骤7。否则继续执行步骤4。
4. 对于城市$i$，计算子节点的数量$n_i$和平分给子节点的概率$p^{\text{child}}=\frac{p[i]}{n_i}$
5. 对于所有在队列内的子节点$k$（如果出发点城市1是子节点那么也算在队列内，但不赋值）,计算并赋值其加权平均时间$$x[k]=\frac{(x[i]+1)\ast p^{\text{child}}+x[k]\ast p[k]}{p^{\text{child}}+p[k]}$$和概率$$p[k]=p^{\text{child}}+p[k]$$
6. 将所有在队列外的子节点$j$入队(城市1除外)。对于每一个$j$，赋值$p[j]=p^{\text{child}},x[j]=x[i]+1$。
7. 对于本身节点，赋值$p[i]=0,x[i]=0$，出队，指针$i$移向下一位。
8. 直到队列为空。

解释

第3步.这是搜索的边界条件。当某个城市的到达概率微乎其微，当然是要忽略它了。可以证明，时间的增长速度比概率的衰减速度要慢的多，对最终结果的影响有限。当然，存在有更精确的边界条件。不是唯一的。
第7步.这是保证，在队列内的概率总和不会大于100%。也就是说，回到城市1的概率不会大于100%。
这个算法会让节点多次入队，因为有些居民可能多次兜圈子，但是每次访问节点对应的居民花费时间是不同的。

于是我们就获得了单源的算法。
所以，对于所有的$i$，都进行一次上面的类SPFA操作，就可以求得答案了。
由上面的边界条件可以看到，在最理想的情况下，一个点要经历估算至少${\log }_{2}10^9\approx 30$次入队才会排除
那么算法时间$O(kE)\ast O(V)=O(k{V}^2)$（k为节点平均入队次数,$\ge 30$，E为边数，V为节点数。由无重边无自环，所以E=V）
还算是理想的效率.