如何证明Hibbard增量的希尔排序的减枝条件

在要排序的M个元素的数组$a$中
对于Hibbard增量来说，其增量序列为{1,3,7,15……hn−1,hn}\{1,3,7,15……h_{n-1},h_n\}{1,3,7,15……hn−1​,hn​}，并且$h_{i+1}=2h_i+1$。

当希尔排序运行到$h_i$ 时
接下来应对子数组{……a[λ−2hi],a[λ−hi],a[λ]}\{……a[\lambda-2h_i],a[\lambda-h_i],a[\lambda]\}{……a[λ−2hi​],a[λ−hi​],a[λ]}进行插入排序
有一个减枝条件：
对于 $X=(h_{i+1}-1)(h_{i+2}-1)=8h_i^2+4h_i$
恒有$a[\lambda -X-k{h}_i]<a[\lambda ](X+k{h}_i<\lambda <M,k\in N)$。
(也就是说对于$h_i$，$a[1]$到$a[\lambda -X]$被减枝了)。

下面来证明这个结论

性质一 $X$必定能表示成$X=\alpha h_{i+1}+\beta h_{i+2}$ 的形式。其中 $\alpha ,\beta \in N$。

我们注意到 $\{\begin{array}{l}X=8h_i^2+4h_i\\ \alpha h_{i+1}+\beta h_{i+2}=(2\alpha +4\beta )h_i+\alpha +3\beta \end{array}$

于是有了两种想法
想法（1）
$\{\begin{array}{l}2\alpha +4\beta =8h_i+4\\ \alpha +3\beta =0\end{array}解得\{\begin{array}{l}\alpha =12h_i+6\\ \beta =-4h_i-2\end{array}$
由于$\alpha ,\beta \ge 0$,明显$\beta$ 不成立。

或者想法（2）
$\{\begin{array}{l}2\alpha +4\beta =8h_i\\ \alpha +3\beta =4h_i\end{array}解得\{\begin{array}{l}\alpha =4h_i\\ \beta =0\end{array}$
$\alpha ,\beta$ 为非负整数，得证

由此可得推论一 $a[\lambda -X]<a[\lambda ]$
证明
$\because \forall k\in a[\lambda -k{h}_{i+1}]<a[\lambda ],a[\lambda -k{h}_{i+2}]<a[\lambda ]$ (希尔排序的性质,比$h_i$更大的$h$的流程必然是完成了，不然不会轮到$h_i$)
$\therefore a[\lambda -\alpha h_{i+1}-\beta h_{i+2}]<a[\lambda ]$
$\therefore a[\lambda -X]<a[\lambda ]$

性质二 $a[\lambda -X-h_i]<a[\lambda -X]$（希尔排序的性质,$\lambda -X$的插入排序问题已经被完成了，要不然不会到达$\lambda$位置）

综合推论一和性质二，即可得证。

但是$X$是不是最大的减枝呢？有没有更大的减枝？
先观察$X$,其实$X=2h_i\ast 2h_{i+1}$
于是可以设出$Y=h_i\ast h_{i+1}=2h_i^2+h_i$
可以证明 $Y$ 同样是一个减枝条件。而$Y$ 确实看起来比$X$ 优秀。