如何证明treap数插入的期望旋转次数小于2

介绍

树堆，在数据结构中也称Treap，是指有一个随机附加域满足堆的性质的二叉搜索树，其结构相当于以随机数据插入的二叉搜索树。其基本操作的期望时间复杂度为$O({\log }_{2}n)$。

对于插入

给节点随机分配一个优先级，先和二叉排序树的插入一样，先把要插入的点插入到一个叶子上，然后跟维护二叉平衡树一样，如果当前节点的优先级比父亲大就旋转，如果当前节点是父亲的左儿子就右旋，如果当前节点是父亲的右儿子就左旋。
通常来说，优先级是伴随着访问次数来改变的。

证明

在这里我们先假设优先级的分布是稠密的。
如果不是稠密的，可以通过映射来构造一个稠密的分布：
把优先级从小到大排序，然后把优先级直接用序号代替。这样就得到了一个稠密的分布
设我们要插入的节点的优先级为$X$，treap里面最大的优先级为$Limit$，简称$L$。
首先，如果$X\ge L$,那么就不用旋转。
所以我们讨论$X\le L$ 的情况

我们可以得到树高
$$H\approx {\log }_{2}L$$
而我们的$X$ 的目标树高为
$$H_x\approx {\log }_{2}X$$
每次旋转,X都会减少一层树高（升上去了）
所以我们的旋转次数
$$Spin=H-H_x\approx {\log }_{2}L-{\log }_{2}X$$
由于我们的X是在$[0,L]$ 内等可能的
那么期望旋转次数为加权平均数
$$\sum _{X=0}^L\frac{1}{L}\ast ({\log }_{2}L-{\log }_{2}X)$$
即
$$\approx \frac{1}{L}{\int }_0^L({\log }_{2}L-{\log }_{2}X)dX$$

$$=\frac{1}{L\ln 2}[X\ln L-X\ln X+X{]}_0^L$$
$$=\frac{1}{\ln 2}-0=1.44$$
证明完毕.