【二叉平衡搜索树】Treap_treap树-优快云博客

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本篇是平衡树-treap的补充学习笔记。

Treap - 树堆
学习基础：适合一定基础的：比如，实现了经典二叉搜索树（常用的几个函数写过），和二叉堆（数组的上浮下沉会写吗？），至少了解旋转的概念且写过旋转的接口（有一定理解，比如实现AVL树/红黑树）（涉及到相关思想）。
实现语言：Java。 —其它语言的小伙伴可拷贝我的代码转译成自己的语言（笔者虽然多语言学习，但使用侧重点不同，对语言的理解也浅薄，频繁切换语言不妥。）
纯根据理解手写。
来源：算法导论---红黑树章节后的treap思考题
参考书籍:算法导论

有关问题：
算法导论第6章堆排序详细地说明了:二叉堆概念，上浮和下沉操作的相关概念伪代码。实现一下二叉堆（优先级队列）
算法导论第12章介绍了transplant接口, 和二叉搜索树的其它好用的函数。
算法导论第13章介绍了红黑树，红黑树的代码很难写且不易理解，只需了解一下旋转这个操作和伪代码即可。
可以去油管或者b站，或者搜索引擎查找相关问题。

笔者水平有限，本篇基于笔记改写，缺点很多，不太适合新手，适合部分熟悉的朋友回顾复习，在此见谅。

引入

对于一般的二叉搜索树，已知n个数据序列插入到一个二叉搜索树有可能得到性能极差（高度极不平衡的二叉搜索树）。这种单支树的例子，相信你已经不会陌生了。对于随机化构建的二叉搜索树，经过概率论分析的数学期望，得到的二叉搜索树是趋向平衡的。
之前写过一篇动态随机化的平衡树结构-----跳表, 非形式地讨论了这个问题。
接下来，介绍另一种动态随机化的平衡树结构-----Treap。

为什么有了随机化构建，而依旧有研究动态化构建的必要呢？尽管在跳表篇给了解释，但此篇为不甚了解的朋友作出非严格地说明。已知n个数据构建随机二叉搜索树，当然可行。缺点？如果我们未知数据量n呢？或者随机化二叉搜索树，我们还要动态地插入删除呢？，在只允许我们一次取一个数据的场景，经典的随机化构建二叉搜索树不现实了。我都拿不到所有数据，如何随机化地插入二叉搜索树呢？相比Treap和跳表动态树结构，经典随机二叉搜索树可以说是静态结构。

介绍

Treap 是一种弱平衡的树结构，什么叫做弱平衡呢？不同平衡树对平衡的定义不同，确切的，它们对平衡的宏观定义是相同的（维持一棵好性能的树），但对树的平衡严格程度要求是不一样的。

一般地，弱平衡树更好实现，相比于强平衡的AVL（左右子树高度差不为1）， 红黑树（左右高度差小于2倍），跳表明显好实现多了。其次，强平衡树在高度上有最坏的保证（最坏也是性能比较好的），弱平衡树最坏保证是经典二叉搜索树的最坏情况（单支链表的情况）。
归咎原因，弱平衡没有在高度上严格保证，这里的Treap还把基本操作交给概率这一事物，平均来看很好，但失败的后果会很糟糕（虽然失败导致最坏的情况从概率数字来看几乎不可能发生）。

现在，我们可以正式地介绍一下Treap了，
在此，简单回顾一下：

对于二叉搜索树：基本性质：左子树的key <= 根 <= 右子树的key。
对于二叉堆：基本性质：孩子的key>=父亲的key(最小堆), 兄弟之间的大小关系不在意。

综合二者性质，依旧让key的关系满足: 左 < 根 < 右，可以取等自己调整一下。但我个人风格是key最好互异。
堆的性质从何体现，我们引入了一个priority字段，表示优先级。
类比二叉堆的最小堆，那么最小Treap,满足parent.priority < node.priority

![[Pasted image 20240927090041.png]]

综合：
Treap 具有以下几个重要性质：

二叉搜索树性质：对于每个节点，其左子树的所有节点的键值小于该节点的键值，而右子树的所有节点的键值大于该节点的键值。假设键值是不一样的。
堆性质：每个节点的优先级大于或等于其子节点的优先级。这条性质导致这个结构和堆一致。
随机性：节点的优先级通常是随机生成器（如Java中的Random对象）生成的，这使得 Treap 的结构在插入和删除操作中保持平均 $O (l o g n)$ 的时间复杂度。
动态平衡性：支持随机化的动态插入，删除，比随机化二叉搜索树自由。

实现

以下代码比较简单，若你是学Java的应该不难读懂，其它语言的小伙伴可以借助chatgpt翻译成自己的语言,这是一种我比较经典的写法了。

  
import java.util.Random;  
import java.util.Comparator;  
public class Treap<K,V> {
     
    //比较器， 可以手动传递比较器对象， 否则K必须实现Comparable接口  
    private Comparator<? super K> comparator;  
    //随机数生成器， 为每一个节点生成一个随机数  
    private final Random random = new Random();  
    private Node<K,V> root;  //根节点  
    public class Node<K,V>{
     
        K key;  //键  
        V value;  //值  
        Node<K,V> left; //左子树  
        Node<K,V> right;  //右子树  
        Node<K,V> parent; //父指针  
        int priority;  //优先级  
        public Node(K key, V value) {
     
            this.key = key;  
            this.value = value;  
            left = right = parent = null;  
            priority = random.nextInt();//为新生成的节点分配一个随机数。  
        }  
    }  
    public Treap(){
     
        this(null);  
    }  
    public Treap(Comparator<? super K> comparator) {
     
        this.comparator = comparator;  
    }
}

查询操作

![[Pasted image 20240927090041.png]]
查询操作，方法思路同经典二叉搜索树，在此不多赘述。

下面实现了三个方法，核心关注search方法， contains返回一个布尔值，判断关键字key的节点是否存在。get方法根据键获取值。

public Node<K,V> search(K key){
     
    if(root == null){
     
        return null;  //这里单独检查一下。
    }  
    Node<K,V> current = root;//遍历Treap  
    int cmp = 0;  //记录比较结果
    if(comparator != null){
     
        //比较器不为空，那么优先使用比较器。  
        while(current!=null){
     
	        cmp = comparator.compare(current.key, key);  
            if(cmp==0){
     
                return current;//找到了！直接返回节点的引用。  
            }  
            else if(cmp<0){
     
		        //当前值太小了， 前往右子树
                current = current.right;  
            }  
            else{
     
                //cmp>0  
                current = current.left;  
            }  
        }  
    }  
    else{
     
        //comparator == null  
        @SuppressWarnings("unchecked!")  
        Comparable<? super K> comparable = (Comparable<? super K>)current.key;  
        // 使用者必须确保K类型是可比较的， 否则报错。  
        cmp = comparable.compareTo(key);  
        while(current != null){
     
            comparable = (Comparable<? super K>)current.key;  
            cmp = comparable.compareTo(key);  
            //逻辑与比较器相同
            if(cmp==0){
     
                return current;  
            }  
            else if(cmp<0){
     
                current = current.right;  
            }  
            else{
     
                current = current.left;  
            }  
        }  
    }  
    return null;//出循环了即为空。  
}  
//根据serach结果造contains函数和get函数
public boolean contains(K key){
     
    return search(key) != null;  
}  
  
public V get(K key){
     
    return search(key) != null ? search(key).value : null;  
}

插入操作

写法很简单，套路更简单。
经典BST插入＋二叉堆的上浮调整。

TREAP-INSERT(T, x):
    y <- T.root
    p <- NIL
    while y ≠ NIL:
        p <- y
        if y.key == x.key:
            // Update the value
            y.val <- x.val