矩阵论——施密特正交化&求行列式&QR分解

前言

​   准备要放寒假啦，虽然我们也没啥寒假了，各地疫情又在肆虐了，大家出门回家要小心喔~​  

回家过年团圆好，口罩戴好少不了！

​   这也是我22年春节回家前的最后一稿啦，内容有点杂，但是都是为了给后面填大坑用的，也借鉴了其他一些优秀的blog，在此表示感谢~


正文开始~

优快云 (゜-゜)つロ 干杯

施密特正交化（Schimidt Orthogonalization ）

​   施密特正交化是为了让一组向量$({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n)$通过这个变换得到一组互相正交的向量$({\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n)$。原理比较简单，设第一个正交向量即为第一个原向量${\alpha }_1$，则后续的正交向量是通过第i个原向量${\alpha }_i$减去其在前i-1个向量$({\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_{i-1})$的投影得到。

​  令${\beta }_1={\alpha }_1$，接下来要求${\beta }_2$，我们可以通过求${\alpha }_2$在${\alpha }_1$上的投影d，然后利用${\alpha }_2-d$就可以得到与${\alpha }_1$相垂直的向量${\beta }_2$。
d = ∣ ∣ α 2 ∣ ∣ cos ⁡ θ ⋅ α 1 ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ d = ∣ ∣ α 2 ∣ ∣ cos ⁡ θ ⋅ α 1 ⋅ ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ 2 = ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) ⋅ β 1 \begin{aligned} d&=||\alpha_2||\cos{\theta}\cdot\cfrac{\alpha_1}{||\alpha_1||}\\ d&=||\alpha_2||\cos{\theta}\cdot\cfrac{\alpha_1 \cdot ||\alpha_1||}{||\alpha_1||^2}=\cfrac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \cdot \beta_1 \\ \end{aligned}