MIT 线性代数笔记第四讲：矩阵的LU分解

最新推荐文章于 2024-01-25 20:03:40 发布

weixin_40379396

最新推荐文章于 2024-01-25 20:03:40 发布

阅读量437

点赞数 2

分类专栏： MIT 线性代数笔记文章标签：线性代数

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_40379396/article/details/104985236

版权

MIT 线性代数笔记专栏收录该内容

7 篇文章

订阅专栏

一.矩阵乘积的逆

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ （这里举了一个先脱袜子再穿鞋，先穿袜子再穿鞋的例子，教授好可爱~）

二.矩阵转置的逆

$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

推导：

$(AA^{-1})^{T}=A^{T}(A^{-1})^{T}=I$ 所以： $（A^{T})^{-1}=A^{-1}^{T}$ $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

三.矩阵的LU分解

在没有换行的情况下

在第二讲中讲到了如何通过消元矩阵将矩阵A变为，主元在对角线的上三角矩阵，即 $E_{21}A=U$

$\begin{bmatrix} 1 &0\\ -4& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 8& 7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 0& 3 \end{bmatrix}$

两侧同时乘以 $(E^{21})^{-1}$ ,则有 $A=(E^{21})^{-1}U$ ,也就是 $A =LU$ ,这就是LU分解。

有时也可以将A分解为 $A=LDU^{'}$ ,其中D是对角矩阵。

矩阵的分解可以类比于多项式的因式分解，分解后可以更好地看清解的状态。（eg: $2x^{2}+9x+10=(2x+5)(x+2)$ ）

消元所需计算量

图片截取自MIT笔记，链接如下：

https://download.youkuaiyun.com/download/qq_33824952/10719183

行转换

若主元位置出现0，则需要行变换，通过左乘一个置换矩阵可以实现行变换如： $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}$ ,类似的3*3置换矩阵共有六个。n*n的矩阵存在n!个置换矩阵，置换矩阵每一行除了0外只有一个1，且每一行n的位置不同，第一行n的位置有n个选择，第二行有n-1个选择，以此类推最后一行只有1个选择，所以n阶方阵有n！个置换矩阵。

置换矩阵的性质：

置换矩阵相乘仍在置换矩阵的集合中，逆矩阵也在集合中。置换矩阵的逆为它的转置 $P^{-1}=P^{T}$ 。

评论

被折叠的条评论为什么被折叠?

到【灌水乐园】发言

查看更多评论

添加红包

成就一亿技术人!

hope_wisdom

发出的红包

实付元

使用余额支付

点击重新获取

扫码支付

钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。