MIT线性代数笔记-第4讲-矩阵的LU分解

4.矩阵的LU分解

转置：将矩阵中各个元素的行列互换（即将矩阵的行变为列，列变为行）得到新矩阵，新矩阵被称作原矩阵的转置矩阵，记作$A^T$。当矩阵为方阵时，即将整个矩阵关于主对角线对称。

1. $A$的逆的转置等于$A$的转置的逆，即$A{A}^{-1}=I$，则$(A^{-1}{)}^T{A}^T=I$（其中$A$为广义上的可逆矩阵）

   证明：$i_{i,j}=\overrightarrow{rowiofA}\cdot \overrightarrow{columnjof{A}^{-1}}=\overrightarrow{columniof{A}^T}\cdot \overrightarrow{rowjof(A^{-1}{)}^T}$

   ​    因而$I=(A^{-1}{)}^T{A}^T=A{A}^{-1}$

2. 假设$A$在消元过程中不需要换行，已知$EA=U,A=LU$，则$L=E^{-1}$

   例：$\begin{array}{cccc}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -4& 1\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 8& 7\end{array}\right]& =& \left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right]\\ E& A& & U\end{array}$

   ​   $\begin{array}{cccccccc}\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 8& 7\end{array}\right]& =& \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right]& =& \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ 0& 1\end{array}\right]\\ A& & L& U& & L& D& U\end{array}$

   在某些时候$L$比$E$能更加直观地展现信息

   并不是所有可逆方阵都可以化为一个下三角阵和一个上三角阵的积的形式，只有在消元过程中不需要换行的才可以，否则都要在此基础上乘上一个置换矩阵

   证明$L$为下三角阵且主对角线元素为$1$：

   ​    每次消元操作都是用某一行减去另一行的若干倍，被减行对应系数一直为$1$，所以$E$的主对角线元素一定为$1$， 并且每次消元都是用某一行减去在它之前的另一行的若干倍，所以$E$是一个下三角阵，又$LE=I$，积的第$i$行 第$i$列为$1$且该行和该列的其他元素为$0$，所以用$L$的行对$E$的行进行线性组合时要确保$E$中末尾连续$0$个数较小 的行（即第$i$行以后的行）对应的变量为$0$且第$i$行对应的变量为$1$，这样$L$就为下三角阵且主对角线元素为$1$

   ​    即要使$L\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \cdots & \cdots & \cdots & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$，$L$一定要满足需证明的结论，可以想象一下不满足会 怎么样

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