力扣53:最大子序和

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这题用动态规划…对于动态规划，我只是粗略地知道当一个问题类似递归的形式，且存在某个子问题被重复的求解时，可以用空间换时间的方式缩短求解的时间长度。也就是说，每次求解一个子问题，那就将这个子问题的解存储下来，这样当球规模更大的同一pattern的问题时，就不必要继续递归到底，而是直接取出子问题的解代入就行了。这是我阅读《算法导论》的动态规划章节得到的思路。

按照这个思路，我们来看这个问题。首先我们肯定可以发现这个问题是可以分解的。我们应当注意这种分解方式是将问题分解成核心类似，但是规模不同的多个子问题。然后这些子问题的子问题——也就是核心——的类似使得前一个子问题的求解是可以被后一个子问题复用的。就拿题目中的例子$nums=[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]$而言，每个元素都可以作为一个连续子数组的结尾。我们将nums的所有连续子数组的情况分为9种连续子数组的情况，或者说以第i个下标元素结尾的所有连续子数组的情况可以组成一个集合，那么nums的所有连续子数组就可以分成九个集合。然后每一个集合中都可以找到某个数组其元素总和最大，那么这个数组就是以下标i的元素为结尾的连续子数组中和最大的连续子数组，那么九个集合就可以选拔出九个最佳选手进入九强。之后比较这九个连续子数组的元素和哪个是最大的，那么就是nums的最大和连续子数组。
那么问题来了，这样的分解方式有没有重复的工作呢？当然是有的！
我们先假设以下标为i的元素为结尾的连续子数组集合为$s[i]$，然后以下标为i的元素为结尾的连续子数组集合中那个最大和的连续子数组为$p[i]$，那个最大和的值为$f[i]$。你会发现s[i]中的所有的连续子数组无非只有两种情况：

• nums[i]本身就是一个连续子数组。
• s[i-1]中的所有连续子数组后面加个nums[i]，就变成新的连续子数组了。

这就导致我们对连续子数组的最大和的讨论必然会有很多重复工作！比方说你费尽千辛万苦求了s[i-1]中的所有连续子数组的和，正当你要列出所有以下标为i的元素的连续子数组的情况，组成s[i]，然后再这些数组的元素和时，你发现：我为什么不直接用s[i-1]的工作呢？s[i-1]中每个连续子数组的元素总和的再加一个nums[i]就是s[i]的连续子数组的元素总和(当然别忘了nums[i]这单一个元素的连续子数组)。同理，p[i]必然是从p[i-1]拼接上nums[i]组成的新连续子数组和nums[i]两个对手中比较诞生优胜者。或者用官方解答的正式说法：
$$f(i)=maxf(i-1)+nums[i],nums[i]$$
到这里我们的思路就变成了：遍历nums数组，求出每一个元素的f(i)，然后存入f数组中。再遍历f数组，找到这个最大的f(i)。但是到这里我们还可以从空间上再次优化一下，就是有点类似于冒泡排序——或者说滚动数组吧——那种感觉。我每次计算出f(i)的时候，我就直接和f(1)到f(i-1)中的的最大值对决，对决胜出的成为擂主。等到计算出f(i+1)时，我就拿f(i+1)和f(1)到f(i)中的最大值——也就是擂主——进行对决。因此我们就只用一个变量$maxAns$标记擂主就可以了。i=1时f(1)就是maxAns，i等于2是我们只需要比较上一个迭代maxAns和f(2)看看需不需要更新maxAns就可以了…然后和maxAns每次比较的f(i)也是通过上一个迭代的f(i)+nums[i]和nums[i]比较决出的，那么我们干脆就只用一个变量$pre$去表示上一个迭代的f(i)(也就是f(i-1))，每个迭代更新这个pre值，然后再根据更新的pre值和MaxAns比较即可。
这也就是官方解答给出的动态规划解法：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int pre = 0, maxAns = nums[0];
        for (int x : nums) {
            pre = Math.max(pre + x, x);
            maxAns = Math.max(maxAns, pre);
        }
        return maxAns;
    }
}

这道题还有很多细节可以深挖，具体恐怕要先鸽着了，往后慢慢看。