r矢量球坐标系旋度_三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明

三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明

【摘要】

本文通过分析一个悖论的产生原因，叙述了在学习中对三个常用坐标系的单位矢量的一点认识；然后由旋度的定义出发，给出了一种不同于教材的矢量旋度表达式推演方法证明。

【关键词】

坐标系 单位矢量 悖论 旋度表达式

一、对三个常用坐标系的认识

题目：

将位于球坐标下的P 点(1,30,90)??处的矢量A e θ=u r u r

，先在直角坐标系下表示出其表达式，然后再将所得到的表达式重新表达成球坐标系下表出。则将得到如下悖论：

r A e e θ==u r u r u r

请在分析产生此悖论原因的基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。

1、悖论r A e e θ==u r u r u r

的产生：

A u r 在直角坐标系下的表达式为：

101222

x y z A e e e =+-u r u r u r u r g g g g

所以A u r 为点11(0,)22

P -处的矢量。然后再将A u r 在球坐标下表出

1r ===

1

arccos(/arccos()1202

z θ==-=? arctan(/)90y x φ==?

所以，此时的A u r

是点2(1,120,90)P ??处的矢量

此时，r A e e θ==u r u r u r ，即在2P 点处e θu r 与r e u r

大小相等，方向相同。

产生悖论的原因：将在球坐标系中的最初的矢量A e θ=u r u r

经过球坐标表出变换为直角坐标表出，再变换为球坐标表出这一变换过程之后，P 点在球坐标系下的位置已经改变，由此产生了r e e θ=u r u r ；但是，2P 点处的e θu r 已经不等于P 点处的e θu r

，因为它们的方向不相同。