数论初步——Eratosthenes筛法

无平方因子的数
给出正整数 $n$ 和 $m$，区间$[n，m]$内的“无平方因子”的数有多少个？
整数 $p$ 无平方因子，当且仅当不存在$k > 1$，使得 p 是 $k^{2}$ 的倍数。(1 <= n <= m <= $10^{12}$，m - n <= $10^{7}$)。
分析：
首先先介绍一下用Eratosthenes筛法构造1 ~ n的素数表。
思想：

对于不超过 n 的每个非负整数 p，删除2p，3p，4p，…..，当处理完所有的数之后，还没有被删除的数就是素数。

实现代码：

int m = sqrt(n + 0.5);
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i = 2; i <= m; i++) if(!vis[i])
    for(int j = i*i; j <= n; j+=i) vis[j] = true;

这里给出一个有意思的问题：
给定n，c的值是多少？？？换句话说，不超过n的整数中，有多少的素数呢？

素数定理：$\pi$($x$)~$\frac{x}{lnx}$

最后，我们如何求出区间内无平方因子的个数呢？方法和筛素数类似，对于不超过$\sqrt{m}$的所有素数p，筛掉区间[n，m]内$p^{2}$的所有倍数。

实现代码:

int r = sqrt(m + 0.5);
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i = n; i <= r; i++) if(!vis[i])
    for(int j = i*i; j <= m; j+=i*i) vis[j] = true;