离散数学反对称关系_学习笔记|离散数学·关系

最新推荐文章于 2024-11-08 21:39:51 发布

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文章标签：离散数学反对称关系

本文详细探讨了离散数学中的关系性质，包括自反、对称、传递、反自反和反对称。对称关系并不总是自反的，但自反关系总是对称的。还介绍了复合关系、逆关系的概念，以及关系的闭包运算，如自反闭包、对称闭包和传递闭包。最后，阐述了集合的划分和覆盖的定义。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

3-6 关系的性质

自反

定义3-6.1 ：设R为定义在集合X上的二元关系，如果对于每一个
则称二元关系R是自反的。

例如，在实数集合上，
，因为对于任意的实数，

成立；

又如平面上的全等？三角形是自反的

对称

定义3-6.2 : 设R为定义在集合上的二元关系，如果对于任意的
,有

可以找到一个y，推出

，则成集合X上，关系R是对称的。

，因为对于xRy来说，其中的y应该是任何一个在X中的元素都可以充当的，若说

,则表达成为了“对于任何一个在X中的x，只能有部分的X中的元素（y），可以满足”

“这个条件。

于是这样就人为地减少了y的可能性，而对称应该是对于X中全体元素而言的。

这样，有些集合上的关系，即使自反的，又是对称的。

但是其中，自反和对称也有些许不同：

如果自反，说明，对任意的元素，R满足”交换律”，而因为是自身对自身的关系（xRx），缺少了对称中y的任意性
对称是满足自反条件的么？
如果说 R是对称关系，那么由于x，y的任意选取，势必会涉及到x=y的情况，如果满足了这种情况的话,对称的前件是xRy，那是否可以说明就存在xRx了呢？
即对称关系都满足自反，但是自反不一定能推出对称？？？
另外，对称说“每当xRy”，那么xRy是一定成立的么？

传递

定义3-6.3：设R定义在X上的二元关系，对于
，每当 xRy , yRz时，就有xRz

值得一提的是，要事先成立 xRy,yRz 才可以

Ex:

,祖先关系

反自反

定义3-6.4： R为定义在X上的二元关系，若对于每一个X中的元素x来说，都存在
,那么我们说，R为反自反的

换言之，要求X中的元素， 全部不自反，才是反自反。不可以存在有一部分的自反 自反和反自反是分属于两个极端情况的，中间还有 “部分自反，部分不自反”的情况。 一个“不是自反”的关系，“不一定“就是”反自反“；一个不是反自反的关系，也同样不一定就是自反。

反对称

定义3-6.5：R为定义在X上的二元关系，若对于
,那么一定有x=y

序偶属于反对称么？？？
换言之，若对于

反对称和对称有包含关系，因为所谓“全等”，既是对称，又是反对称，因为我们承认了一个元素的唯一性。所以在这种 “全等”情况下，我们成它既是对称，又是反对称的（x=y）

Ex：A={1，2，3}，S在A上，S={<1,1>,<2,2>,<3,3>} S在A上就既是对称，又是反对称的。

同样的，也有既不是对称，也不是反对称的情况。这是因为对称关系，要求<x,y>,<y,x>同时在S中出现，如果我们在对称时，随便取出一个<y,x>但不取走全部的<y,x>，我们就可以实现两个“既不”

Ex：A={a,b,c},S在A上，S={<a,b>,<a,c>,<c,a>}，那么S在A上就既不是对称的，也不是反对称的。

或许我们可以换言之，如果把对称关系中全部的<y,x>都取出，那么就是反对称的；
如果只取出部分，那么就是既不是对称，也不是反对称的。
如果仅仅 x=y，那么就既是对称，也是反对称的。

这里要注意的是，如何用矩阵/图来表示集合上的关系

3-7 复合关系和逆关系

复合

R是A到B的二元关系，S是B到C的二元关系，存在B中的一个元素y, 有<a,y>,<y,c>，则有<a,c>.

合成运算是对关系的二元运算，它能够由两个关系生成一个新的关系。

二元运算：xx和yy——生成一个新的关系，这里的xx,yy可以任意选取，甚至可以选取另一组运算。

合成运算是可结合的 A---B---C
R本身所组成的复合关系：

复合关系也可以使用矩阵表示

其中，

表示逻辑加：

0=0 ，1

0=1，0

1=1 ，

1=1

这与矩阵的乘法相似,不过我们要注意的是，如果按照“矩阵乘法”计算出大于1的数，在关系矩阵中，我们都按照1来计算（即非零常数皆为1）

矩阵的乘法：
矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。
1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。
2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。
3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素 乘积之和

源自百度百科词条 -矩阵乘法

除了上述的矩阵乘法以外，还有其他一些特殊的“乘积”形式被定义在矩阵上，值得注意的是，当提及“ 矩阵相乘”或者“ 矩阵乘法”的时候，并不是指代这些特殊的乘积形式，而是定义中所描述的矩阵乘法。在描述这些特殊乘积时，使用这些运算的专用名称和符号来避免表述歧义。

struct Matrix:vector<vector<int> >//使用标准容器vector做基类，需#include语句
 
{
     
    Matrix(int x=0,int y=0,int z=0)//初始化，默认为0行0列空矩阵
     
    {
         
        assign(x,vector<int>(y,z));
    
    }
     
int h_size()const//常量说明不可省，否则编译无法通过
     
{
         
return size();
     
}
     
int l_size()const
     
{
         
return empty()?0:front().size();//列数要考虑空矩阵的情况
     
}
     
Matrix pow(int k);//矩阵的k次幂，用快速幂实现，k为0时返回此矩阵的单位矩阵
};
 
Matrix operator*(const Matrix &m,const Matrix &n)//常量引用避免拷贝
 
{
    if(m.l_size()!=n.h_size())return Matrix();//非法运算返回空矩阵
     
Matrix ans(m.h_size(),n.l_size());
     
for(int i=0; i!=ans.h_size(); ++i)
         
for(int j=0; j!=ans.l_size(); ++j)
             
for(int k=0; k!=m.l_size(); ++k)
                 
ans[i][j]+=m[i][k]*n[k][j];
    
return ans;
 
}
 
Matrix Matrix::pow(int k)
 
{
     
if(k==0)
     
{
         
Matrix ans(h_size(),h_size());
         
for(int i=0; i!=ans.h_size(); ++i)
             
ans[i][i]=1;
        return ans;
     
}
     
if(k==2)return (*this)*(*this);
     
if(k%2)return pow(k-1)*(*this);
     
return pow(k/2).pow(2);
}

2020.4.2更新

逆关系

定义3-7.2 设R为X到Y的二元关系，如果将R中每一序偶的元素顺序互换，所得到的集合成为R的逆关系。记作

简而言之，是在序偶的“序”上做文章。颠倒过来的关系父子——子父

从逆关系的定义得出

定理3-7.1 R,R1,R2都是从A到B 的二元关系，则

定理3.7-2 设T：X→Y, S：Y→Z，

定理3.7-3 R为X上的二元关系，

R是对称的，当且仅当
R是反对称的，当且仅当

转置矩阵

3-8 关系的闭包运算

给定的关系——扩充一些序偶——得到具有某些特殊性质的新关系

定义3-8.1 设R是X上的二元关系，如果有另一个关系R'满足：

R'是自反的（或者对称的，可传递的。我们以自反为例叙述闭包运算的性质）
对于任何自反的关系R''，如果有
,则有

则称R'为R的自反闭包。

自反闭包是包含R的最小自反关系。对称，传递亦然。

记作：R上，

自反闭包——r(R)
对称闭包——s(R）
传递闭包——t(R)

R是自反的，当且仅当r(R)=R

t（R）Warshall 有效算法

简言之：若第a列上的x,y，z行的值为1，那么就x,y,z行的数统统与第a行相加，得到一个新的矩阵，然后继续逐列扫描。


       //初始化 输入矩阵 
        int R[n][n] = {0};
        for(int i1 = 0; i1 <= n-1; i1++)
            for(int j1 = 0; j1 <= n-1; j1++)
                scanf("%d",&R[i1][j1]);
        //Warshall
        for(int i2 = 0; i2 <= n-1; i2++)
            for(int j2 = 0; j2 <= n-1; j2++)
        {
                if(R[j2][i2] != 0)
                {
                   for(int k = 0; k <= n-1; k++)
                        R[j2][k] |= R[i2][k];
                }
        }


   代码原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_41934068/java/article/details/80274795

2020.4.7