三个数差的平方公式推导过程_14.2.2.1 完全平方公式教学案例

作者：经开区初中数学名师工作室主持人  张晨

(乌鲁木齐市第126中学)

一、教材分析

本节内容来自新人教版八年级数学上册第十四章14.2.2 完全平方公式(第1节)，主要讲述的是完全平方公式的推导和利用公式进行乘法运算.本节是在学生学习了有理数运算、整式的基本概念、整式的加减法、幂的运算性质和一般的整式乘法知识后进行学习的. 本节是今后学习因式分解、分式运算、根式运算、解一元二次方程、二次函数等知识的重要基础，同时也具学习物理学、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.

二、学情分析

八年级学生的心理特点是形象思维大于抽象思维，认知规律从特殊到一般，结合学生实际学习情况(已较熟练掌握多项式乘法，并且本节之前也已经学习了平方差公式)进行本课设计. 从“蛋糕问题”引入，激发学生学习兴趣，引导学生通过代数方法推导公式，概括出公式的本质特征，辨析公式、应用公式.

三、教学目标

知识与技能：

1、会推导完全平方公式，理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何意义；

2、能运用完全平方公式进行计算，解决实际问题.

过程与方法：

1、在探索完全平方公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题方法，在验证完全平方公式的过程中，进一步提高观察力、发展符号感和推理能力，感知数形结合思想.

2、经历观察、想象、交流等活动，进一步发展空间观念和有条理语言表达的能力，培养学生发现问题、提出问题的能力.

情感态度价值观：

经历探索完全平方公式的过程，培养学生的思维条理性和表达能力.在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神.

四、教学重难点

重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用.

难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算.

五 、教学过程

1.激发学生兴趣，引出完全平方公式

师：张老师带10岁的女儿果果去选生日蛋糕，我们准备买的12寸的正方形蛋糕，但是已经卖完了.果果观察发现一个边长为6寸的正方形蛋糕128元，一个边长为12寸的正方形蛋糕256元，她略有所思，然后兴奋地对我说：“爸爸，不用买边长为12寸的正方形蛋糕了，可以用两个边长6寸的正方形小蛋糕代替，因为它们价格相同，而且还可以选两种不同的口味呢！”

同学们，你认可果果的建议吗？为什么？

生1：蛋糕是双层的吗？

师：不是，每种蛋糕的高度都相同.

生1：价格一样，高度也相同，那么蛋糕的大小只与它们的底面积有关.两个边长6寸的正方形蛋糕底面积是72平方寸，一个边长12寸的正方形蛋糕底面积是144平方寸，少了72平方寸，吃到的蛋糕少了一半呢，一点都不划算，不应该换.

师：生1准确地抓住了问题的本质：既然蛋糕价格一样，高度也相同，那么蛋糕的大小只与它们的底面积有关. 如果假设两个小正方形的边长都是a，大正方形的边长为2a，那么一个大正方形的面积与两个小正方形的面积和相比，哪个大？你能用代数方法解决吗？

生2：两个边长a的正方形面积和是a²+a²=2a²，一个边长为2a的正方形面积是(2a)²=4a²，依然是大正方的面积大，大了2a².

设计意图：让学生帮助老师解决实际问题，激发学生的学习兴趣，通过经历数学的发生发展的过程，让学生积累数学活动的经验.

2.问题引申，推导完全平方公式

师：是不是因为我们选取了两个大小一样的小正方形才出现了这样的结果呢？如果假设两个小正方形的边长分别为a和b，大正方形的边长为(a+b)，那么一个大正方形的面积与两个小正方形的面积和相比，哪个大？请同学们运用多项式乘法公式解决？

生3：我认为大正方形的面积依然比两个小正方形加起来的面积要大. 大正方形的面积是(a+b)²，也就是(a+b)·(a+b)，乘出来就是a²+ab+ab+b²，合并同类项后就是a²+2ab+b²，而两个小正方形的面积和是a²+b²，两者作差之后是2ab.因为a和b都代表边长，它们都是正数，所以2ab就是正数，那么(a+b)²就比a²+b²大.

师：生3用多项式乘法解决了问题，说得非常清楚.那么刚才的的问题能否用直观的方法画图解决呢？请同学们画一画，比一比.

 学生先小组讨论，然后由生4、生5分别代表小组在黑板上画出草图，通过图形可以观察到边长为(a+b)的大正方形的面积一定大于两个边长分别是a、b的小正方形的面积之和，多出的面积恰好就是两个ab.

设计意图：从数字到字母的抽象概括，引导学生抓住数学本质.通过数和形两方面的探索论证，突出完全平方公式的结构特征，破除学生脑海中(a+b)2=a2+b2的错误思维.

3.概括公式特征，辨析完全平方公式

师：在刚才的学习活动中，生3运用多项式乘法得到：(a+b)²=(a+b)·(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b².生4和生5画出图形，那么正方形的面积即可以表示为(a+b)2，也可以表示为a²+2ab+b²，二者表示的是同一个图形的面积，因此得到：(a+b)²=a²+2ab+b².

以上三位同学从数与形的两个角度发现和验证了一种特殊的多项式乘法：(a+b)²=a²+2ab+b²，我们把它叫做完全平方公式.

如果a和b表示两个数，你能用文字语言表述公式左右两边的结构特征吗？

生6：公式的左边是两个数和的平方，公式的右边是两个数分别平方，再加上它们乘积的两倍.

师：表述正确，也就是说，两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的2倍. 请同学们根据刚才学习的完全平方公式或者以前学过的多项式乘法解决下列问题，观察之后，请谈谈你的发现.

例1.计算：

 (1)(a+b)²;  (2)(-a-b)²;  (3)(a-b)²;  (4)(-a+b)²．

学生先独立解决，后小组讨论，然后派代表发言说出发现.

生7：我是把它们都变成多项式乘多项式做的，我发现第(1)、(2)题答案一样，第(3)、(4)题答案一样.

师：生7同学还没有完全掌握完全平方公式，那么你们小组有么有用完全平方公式做这些题目的？是你做得快，还是他做得快？

生7：好像差不多，可能他还不太熟练吧！不过我发现我需要乘4次，还要再合并同类项，而用公式做只需要乘3次，还不用合并同类项，这样对比一下，用公式确实要方便一些.

师：看来用完全平方公式的确简便了运算，那有没有直接用公式做的？你用完全平方公式公式是如何解决第(2)题的呢？

生8：我是用公式做的，我记得老师说过平方差公式里的a和b代表数或代数式，那完全平方公式里的a和b也是一样可以代表数或代数式. 我们可以把(-a-b)²看成是[(-a)+(-b)]²，公式里的a代表-a，b就代表-b，那么a²就是(-a)²=a²，同样的b²就是(-b)²=b²，而2ab就代表2·(-a)·(-b)=2ab.

师：生8告诉我们想要熟练运用公式就要充分理解a项和b项的代数意义，它们可以代表一个数，也可以代表一个式子. 通过观察等式左右两边各项的符号，你找到了什么规律？

生9：我们组还发现a²和b²前面都是正号，而2ab的符号会根据a、b同号还是异号来决定，第(1)、(2)题a、b同号，所以是+2ab；第(3)、(4)题a、b异号，所以是-2ab.

师：生9的发现都很有价值! 完全平方公式是形式特殊的多项式乘法，多项式乘法法是完全平方公式的本质属性. 同学们，你能从多项式乘法的角度来说明等号右边的式子每一项的符号是怎么得到的吗？有什么共同的规律吗？

生10：完全平方公式中的a²和b²实际是a项和b项各自相乘的结果，由“同号得正”可得它们的符号始终都是正的；完全平方公式中的2ab实际是a项和b项交叉相乘再合并的结果，因此2ab的符号会根据a、b同号还是异号来决定，同号就是+2ab，异号就是-2ab.

师：生10揭示出了完全平方公式符号特征的本质. 因此我们可以将完全平方公式总结为以下两种：(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab+b²，第一个公式表示a项和b项同号，第二个公式表示a项和b项异号.

设计意图：通过解决完全平方公式的四种形式，设置问题串启发学生发现完全平方公式的符号特征，进一步掌握完全平方公式.

4. 应用公式进行计算

例2. 运用完全平方公式计算:

(1)(4m+n)²;  (2)(y-½)²;  (3)102²；(4)99²;

第(1)、(3)题老师板演，第(2)、(4)安排2位学生板演，然后纠错.

设计意图：让学生实际运用完全平方公式进一步体会完全平方公式的结构特征和符号特征，进一步掌握完全平方公式.

练习1. 下列运用完全平方公式的计算题中，计算正确的是______.

①(a+b)²=a²+b²；  ②(a-b)²=a²-ab+b²；  

③(-x-y)²=-x²-2xy-y²；④(m+2n)²=m²+2mn+4n²;  ⑤(-3x+y)²=3x²-6xy+y²；  ⑥(½x+5)²=¼x²+5x+25；

练习2. 求不同的方法表示阴影部分面积，可以验证哪个公式？

5.应用提高，拓展创新

练习3. 已知x+y=8，xy=12，求x²+y²的值．

练习4.如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，求剩下的钢板的面积．

设计意图：通过辨析、数形结合、公式变形、实际应用等练习方式帮助学生熟练掌握完全平方公式.

6.归纳小结，布置作业

小结：

师：这节课学习了哪些主要内容？

生11：我们解决了“蛋糕问题”，发现和验证了完全平方公式，理解了完全平方公式的结构特征和符号特征，学会了用完全平方公式解决实际问题.师：完全平方公式的结构特征是什么？

生12：等号左边是两个数的和的平方，等号右边是这两个数的平方和，加上它们乘积的2倍. 师：运用完全平方公式要注意什么？

生13：要注意不能写成(a+b)²=a²+b²，完全平方的结果有三项；还要注意2ab前面的符号，a与b同号就是“+”，a与b异号就是“-”；还要注意a²和b²前面始终是“+”.

作业：教科书习题14．2 第2、4、5、7、8、9题．

六、教学反思：

一、激发学生的兴趣，拨动学生的好奇心，使学生乐学好学才能最终达到学会.

考虑到学生刚接触完全平方公式，计算时容易漏掉公式中的中间项，设计生活中的问题引入新课，抓住了学生的注意力，让学生在解决问题的过程中引发数学思考，经历由数字到字母过程的抽象，感知积的乘方与完全平方公式的差别，用数形结合的方式进一步理解(a+b)²是a²+2ab+b²，而不是a²+b².

二、数学公式的教学可以采用启发式教学，以问题串的方式步步深入，探究问题本质.

启发式的教学要求教师能提出好的问题. 什么是好的问题？我认为好的问题要有一定的思维余地，甚至还容易引起学生的错误解答，这样就会引起讨论或争论；好的问题还要是学生熟悉的、感兴趣的，这样的问题学生有亲切感；好的问题还应该是学生能“跳一跳”可以完成的，难度要符合学生情况. 本节课问题串的设计还缺少针对性，还有很多值得推敲的地方，还不都是好问题.

三、任勇老师在《数学学习指导与教学艺术》中，对数学公式的教学提出了12项注意事项：注意公式的引入、注意公式的推导、注意公式的几何解释、注意公式的变式、注意公式的串联、注意公式的演变、注意公式的特例、注意公式的记忆、注意公式成立的条件、注意公式的应用、注意公式的推广、注意公式所揭示的思想方法. 本节课在公式的推导上还有欠缺，对于公式的变形在习题中有设计，第二节课将重点解决公式的变形、公式的应用、公式的推广等内容.

 作者：经开区初中数学名师工作室主持人  张晨(乌鲁木齐市第126中学)

作者简介

2016年8月调入乌鲁木齐市第126中学任教；2014年被市教育局和学校聘为中学数学高级教师；2020年10月被经开区教育局聘为初中数学名师工作室主持人。2010年参加教学大赛荣获乌鲁木齐地区中学数学教学大赛初中组一等奖，同年参加乌鲁木齐市首届班主任专业能力大赛荣获初中组全能一等奖。2009年至2011年参加为期两年的乌鲁木齐市第二届“青年骨干数学教师研修班”，并荣获”优秀学员“称号。    

2009年，独立承担了小课题“引导学生利用‘考试诊断书’促进数学发展的探索与研究”的研究，荣获市级小课题研究成果二等奖；2012年，参与市级小课题“以《一次函数》为例，探索如何上好数学章末复习课”的研究，荣获市级小课题研究成果二等奖。2006年，参与自治区十五规划课题《促进学生数学学习的评价与研究》，经评审后，论文《引导学生对试卷成绩进行正确评价的探索实验》荣获一等奖。2019年9月参与小课题“核心素养视角下初中数学高效课堂构建策略研究”荣获乌鲁木齐市教育科研2018-2019学年规划小课题研究成果二等奖。    

2004年8月1日在《乌鲁木齐教育》上发表文章《表扬就是最好的批评》；2004年9月11日在《新疆教育报》上发表文章《谈谈陶行知的民主教育观》；2010年8月25日在《乌鲁木齐教育》上发表文章《心灵解码》；2014年9月26日在《学周刊》上发表文章《由高斯求和谈创造性思维的培养》；2014年12月8日在《新疆中小学教学》上发表文章《初中数学哈汉双语教师教学中的特点及教学策略的研究》 ；2015年6月在《中国数学教育》杂志上发表文章《初中数学哈汉双语班的教学特点及策略》。

2005年11月联合编写《数学寒假作业》(九年级北师大版)；2006年12月联合编写《新突破同步练习册﹒七年级数学(下册)(北师大版)》；2006年12月联合编写《新突破同步练习册﹒七年级数学(下册)(人教版)》；2011年12月联合编写《新突破同步练习册﹒九年级数学(下册)》。

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