本文探讨了递推关系和母函数的概念，以HANOI问题为例，展示了如何从递推关系推导出母函数。同时，文章还分析了十进制数中出现偶数个5的数的个数问题，通过两种方法得出递推式，并利用母函数找到序列解。最后总结了母函数在序列和递推关系之间的桥梁作用。
文章目录
母函数与递推关系（recurrence relation）
1.递推关系定义
递推关系即差分方程，是一种递推的定义一个序列的方程式，序列的每一项定义为前若干项的函数。
2.母函数推出递推关系
( 1 − a x ) − 1 = 1 + a x + a 2 x 2 + ⋯ (1-ax)^{-1}=1+ax+a^2x^2+\cdots (1−ax)−1=1+ax+a2x2+⋯求母函数 2 − 3 x ( 1 − x ) ( 1 − 2 x ) \frac{2-3x}{(1-x)(1-2x)} (1−x)(1−2x)2−3x的递推关系？
2 − 3 x ( 1 − x ) ( 1 − 2 x ) = 1 1 − x + 1 1 − 2 x = ∑ k = 0 ∞ x k + ∑ k = 0 ∞ 2 k x k = ∑ k = 0 ∞ ( 1 + 2 k ) x k \frac{2-3x}{(1-x)(1-2x)}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-2x}=\sum_{k=0}^{\infty}x^k+\sum_{k=0}^{\infty} 2^kx^k=\sum_{k=0}^\infty(1+2^k)x^k (1−x)(1−2x)2−3x=1−x1+1−2x1=k=0∑∞xk+k=0∑∞2kxk=k=0∑∞(1+2k)xk得到 2 − 3 x ( 1 − x ) ( 1 − 2 x ) \frac{2-3x}{(1-x)(1-2x)} (1−x)(1−2x)2−3x是序列 f ( k ) = 2 k + 1 f(k)=2^k+1 f(k)=2k+1的母函数。
因为: f ( k ) = 2 k + 1 ( 1 ) f(k)=2^k+1\space(1) f(k)=2k+1 (1)所以： f ( k − 1 ) = 2 k − 1 + 1 ( 2 ) f(k-1)=2^{k-1}+1\space(2) f(k−1)=2k−1+1 (2)(1)式-(2)式乘2: f ( k ) − 2 f ( k − 1 ) = − 1 f(k)-2f(k-1)=-1 f(k)−2f(k−1)=−1所以得到递推式: f ( k ) = 2 f ( k − 1 ) − 1 f(k)=2f(k-1)-1 f(k)=2f(k−1)−1
( 1 − a x ) − 1 = 1 + a x + a 2 x 2 + ⋯ (1-ax)^{-1}=1+ax+a^2x^2+\cdots (1−
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