数论 扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

表达式：a*x+b*y=gcd(a,b)

 

对于不完全为 0 的非负整数 a、b，gcd(a,b)表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x、y ，使得 gcd(a,b)=ax+by。

 

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

1、求解不定方程

拓展欧几里德定理是求这样一个方程的解：ax+by=gcd(a, b)其中a、b是不全为0的整数。

int exgcd(int a,int b，int &x, int &y)
{
    int t,d;
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;   //注释1
       return a;
    }
    d=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;  //注释2
    return d;
}

注释1：当b=0时，方程变成了ax = gcd(a, 0) = a，所以x=1, y=0是它的解。

注释2：设x、y为当前递归的值，对应a、b；x1、y1为下次递归的值，对应b、a%b。因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以ax +by = b*x1 + (a%b)*y1 = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1 = a*y1 +b*(x1-(a/b)*y1)，即ax +by = a*y1 +b*(x1-(a/b)*y1)，所以本层循环的x是下层循环的y1，y是x1-(a/b)*y1。（以上除法都是整除法）

如果求的是方程ax + by = c的解，那么（同时放缩）（如果c不能整除gcd(a,b)，那么无整数解）

x=x0*(c/gcd(a,b))

y=y0*(c/gcd(a,b))
如果求所有解的话：

x=x0+b/d*t;

y=y0-a/d*t;

其中t为任意数
因为如果x加个数想要保持结果还是c的话，y就需要减去一个数。当a*x0 + b*y0 = c时，

a*x + b*y = a*(x0 + b/d*t) + b*(y0 - a/d*t) = a*x0 + ab/d*t + b*y0 - ab/d*t = a*x0 + b*y0 = c。
 

下面代码是求方程ax + by = c的一组解：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
	int t, d;
	if(b == 0){
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	d = exgcd(b, a%b, x, y);
	t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;  //不明处2
    return d;
}
int main(){
	int a, b, c, x, y;
	while(cin>>a>>b>>c){
		int d = exgcd(a, b, x, y);
		double X = x*(1.0*c/d);
		double Y = y*(1.0*c/d);
		cout<<X<<" "<<Y<<endl;
	}
}

 

2、求解模线性方程

用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：

    同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

    求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

 

3、用欧几里德算法求模的逆元：

       同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

      在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。 这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

      对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程 ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。
 

参考：

https://blog.youkuaiyun.com/zhj_fly/article/details/75667813    欧几里德与拓展欧几里德定理

https://baike.baidu.com/item/%E6%89%A9%E5%B1%95%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%B7%E7%AE%97%E6%B3%95/1053275?fr=aladdin  扩展欧几里德百度百科